二部图常规操作:抽象出两个有关系 (p) 的对象(集) (X,Y) ,使 (X+Y) 为二部图,以关系 (p) 连边,算两次,找不等式，柯西.
1.有 (sum d(X_i)=sum d(Y_i)).
2.若有 (K_{2,1}) 关系则称之为一个张角.假定其中 (1) 所代表的点为 (uin X), (2) 所代表的点分别为 (v,win Y),则称 (u) 所张的角对应无序点对 ((v,w)).记 (e(u)) 为 u 所张出的所有角,显然有 (e(u)=C^2_{d(u)}).容易验证有 (sum_{i=1}^{|X|}e(X_i)leq C^{2}_{|Y|}*r)当且仅当其为完全二部图时取等,其中 (r) 为 (Y) 中某一无序点对 ((v,w)) 所允许的张角的最大个数.(注意这也是一个二部图处理的常规操作)
(一般语言即 (X) 集合中所有点所张的角的数量之和不大于 (Y) 集合中所有无序点对数量乘上其所能对的顶点的最大值 )
3.完全二部图等价于偶图等价于无奇环图
4.证明 (Turan) 定理的著名形式:无 (K_3) 图边数至多 (lfloorfrac{n^2}4 floor).通常取最大度点 (v) (注意这也是一个二部图处理的常规操作),(d{(v)}) 所指的 (d(v)) 个点构成集合 (Y),剩余 (n-d(v)) 个点与 (v) 构成集合 (X),则 (Y) 集合内部无边,(X) 中每个点度数至多为 (k),且显然内部连边会算两次,没有向对面连边更优, 故 (eleq n(n-k)leqlfloorfrac{n^2}4 floor).
5.(Turan) 定理的一般形式:对于 $n=mk+r,0leq r<m $ 的 (n) 阶图,若其中无 (K_{m+1}),则 (|E(G)|leq e_m(n)),其中(e_m(n)) 为 (K_{k,k,k,...,k+1}) 的边数.(共 (r) 个 (k+1) 及 (m-r) 个 (k)).
*(e_m(n)=C_n^2-rC^2_{k+1}-(m-r)C_k^2=C_{n-k}^2+(m-1)C_{k+1}^2)
*1.易得完全 (m) 部图满足条件.
*2.易得完全 (A) 部图必不包含完全 (A+1) 部图.
*3.易得若某解在 (B) 部图时取得且 (B>m),则此图必可以同构成某个 (m) 部图.(因为图中无 (K_{m+1}),撑死了也就可能出现 (K_m),为完全 (m) 部图条件)
*4.易得若能够分成 (A) 部图则必然能分成 (A+1) 部图.(此说明若某解在 (C) 部图取得且 (C<m),则必可以同构成 (m) 部图)
*5.调整:若 (exists n_1-n_2geq 2),必有 (C^2_{n_1}+C^2_{n_2}geq C^2_{n_1-1}+C^2_{n_2+1}),反复调整使结果达到最小,此时各部点数差不超过1.(因为此处是容斥需要减掉的部分)
*6.综上,最值必然在完全 (m) 几乎等部图中取得(即各部点数差不超过1时的完全 (m) 部图)
6.证明若图 (G(n,m)) 中不含 (K_{2,r+1}),有 (mleqfrac n 4 lfloor 1+sqrt{4r(n-1)+1} floor) 恒成立(结论)
*1.根据角的数量算两次，有(sum C^2_{X_i}leq rC_n^2 o sum X_i^2-sum X_ileq rn(n-1)).
*2.柯西,有(frac {{(sum X_i)}^2}nleq sum X_i^2leq rn(n-1)+sum X_i o (2m)^2leq n[rn(n-1)+2m]).
*3.解方程得命题成立,应用范围:能抽象出无 (K_{2,s}) 限制,如例三中的"无两互异点到三已知点距离相等,无 (K_{2,3})",例四中的"两组平行线至多交四个点,无 (K_{2,5})".
7.分类，处理“取值个数满足某种条件”等题型时通常假定某个参数已知.
*1.适用条件:不论连边关系 (p) 取何值,所建的图性质相同.
*2.以例三为例,不论距离取何值所建图性质均相等(地位平等,此包括最大可能边数等性质),则只需考虑其中一种情况,用总边数除以最大可能边数即为最小取值个数.而例四较之例三更弱,询问的仅仅是某种情况下的性质(即例三中的"最大可能边数").也就是说例四可以求出面积取值个数范围(即例三中的"取值个数").