这两个词都能用来表示原因，翻译为：为什么，何故。但是，在意义上有细微的差别，「なぜ」强调单纯的原因，而「どうして」则含有”怎么会这样的””怎么会变成这个样子的”的意思，可以看两个例子：
比如说，你昨天请假在家里休息，今天你的老板在办公室里碰到你，他就会问你：
なぜ昨日休んだのか？这时「なぜ」表示的只是单纯的原因，意思就是你昨天为什么请假啊？（是不是身体不舒服啊？还是家里有急事啊？）
但是，如果你的老板问你：
どうして昨日休んだのか？这个时候的意思就是说，你昨天怎么请假了啦？（言下之意就是，现在项目这么忙人手又不够，怎么这么点小事情你就随便请假了啦？！）此时你就要小心，你的老板可能已经发火了。。。
如果在字典上查，很可能找到「なぜ」的解释是「どうして」，「どうして」的解释是「なぜ」，这也是我当初最头疼的问题- -！所以以上是个人经验以及征求日本朋友意见的结果，仅供参考~~
另外，一点补充：
「どうして」还有一个用法就是”怎么办，如何”的意思，如：
これからどうして暮らしていこうか。（今后的日子要怎么过呀？）
此时，你就把「どうして」看成是「どうする」的连用型变形，这样就容易记住了~~
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