二分图详解及总结

二分图：

　　二分图中，顶点可以分为两个集合，每一条边的端点都分别位于这两个集合。

二分图的判定：

　　可以利用Bfs或者Dfs进行黑白染色，共享一条边的两点异色，检查一下是否存在矛盾即可。

　　　　相关题目：Hdu 2444 The Accomodation of Students

　　　　　　        Hdu 5313 Bipartite Graph

bfs代码：　　　

void bfs (int s)
{
    int p, q, zreo, one, num;
    queue <int> Q;
    zreo = 1;
    one = vis[s] = 0;
    Q.push(s);
    while (!Q.empty())
    {
        p = Q.front();
        Q.pop();
        num = (vis[p] + 1) % 2;
        for (int i=0; i<G[p].size(); i++)
        {
            q = G[p][i];
            if (vis[q]!=-1 && num != vis[q])
                flag = 1;
            if (vis[q]==-1)
            {
                Q.push(q);
                vis[q] = num;
                if (num == 0)
                    zreo ++;
                else
                    one ++;
            }
        }
    }
}

dfs代码：

void dfs (int u, int c, int &a, int &b)
{
    b ++;
    if (c)
        a ++;
    vis[u] = c;
    for (int i=head[u]; i!=-1; i=edge[i].next)
    {
        int v = edge[i].to;
        if (vis[v] == -1)
            dfs(v, c^1, a, b);
    }
}

二分图相关问题：

　　二分图最大匹配：匹配是二分图中边的集合，且集合中的任意边没有公共点，包含边数最多的匹配。

匈牙利算法模板：

bool Find (int u)
{
    for (int i=head[u]; i!=-1; i=edge[i].next)
    {
        int v = edge[i].to;
        if (!vis[v])
        {
            vis[v] = 1;
            if (!used[v] || Find(used[v]))
            {
                used[v] = u;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

最小顶点覆盖：在二分图中寻找一个尽量小的点集，使图中每一条边至少有一个点在该点集中。

　　最小顶点覆盖 == 最大匹配。

　　反证法证明：假设当前存在一条两个端点都不在最小顶点覆盖点集中，那么这么光芒四射的边定可以增大最大匹配边集，与最大匹配矛盾，所以得证。

最小路径覆盖：在二分图中寻找一个尽量小的边集，使图中每一个点都是该边集中某条边的端点。

　　最小路径覆盖 == 顶点数 - 最大匹配。

　　证明：因为一条边最多可以包含两个顶点，所以我们选边的时候让这样的边尽量多，也就是说最大匹配的边集数目咯。剩下的点就只能一个边连上一个点到集合里啦。

最大独立集：在N个点中选出来一个最大点集，使这个点集中的任意两点之间都没有边。

　　最大独立集 == 顶点数 - 最大匹配。

　　证明：因为去掉最大匹配两端的顶点去掉以后，剩下的点肯定是独立集。我们再从每个匹配里面挑选出来一个点加入到独立集中，也是不会破坏原有独立集的独立性的。