机器学习中的数学

二、第二课时

　1）极限：

　　通俗语言：函数f在(x_0)处的极限是L

　　数学符号：(lim_{x ightarrow x_0} f(x) = L)

　　无穷如何比较大小呢？如x趋近0的时候，(sin(x))和(tan(x))同样都趋近0，哪个趋近0的速度更快呢？我们可以采用求商的极限来求解：(lim_{x ightarrow 0} sin(x)/tan(x) = lim_{x ightarrow } cos(x) = 1)，所以是同样级别的无穷小

　　夹逼定理：如果三个函数满足：(f(x) <= g(x) <= h(x))，并且他们在(x_0)处均有极限，则：(lim_{x ightarrow x_0} f(x) <= lim_{x ightarrow x_0} g(x) <= lim_{x ightarrow x_0} h(x))

　　几个重要的极限：

　　　(lim_{x ightarrow 0} sin(x)/x = 1)

　　　(lim_{x ightarrow infty } x^a/e^x = 0)，对于任意的正数(a)

　　　(lim_{x ightarrow infty } ln(x)/x^a = 0)，对于任意的正数(a)

　　　(lim_{x ightarrow infty } (1 + 1/x)^x = e)

　　2）导数

　　如果一个函数(f(x))在(x_0)附近有定义，并且存在极限：(L = lim_{x ightarrow x_0} frac{f(x) -f(x_0)}{x - x_0})，那么(f(x))在(x_0)处可导且导数(f'(x_0) = L)

　　3）链式法则：即符合函数的求导法则

　　如：(y = x^x)，求其导数。两边取对数：(lny = xlnx)，然后两边同时求导：((1/y)y'=lnx + 1)，(y' = (lnx + 1)x^x)

三、第三课时

　1）单变量函数的黎曼积分：

　　(f(x))为开区间(a, b)上的一个连续函数，对于任意一个正整数n，我们定义：(x_i = a + i(b - a)/n)，求和式：( S_n(f) = sum_{i=1}^{n}f(x_i)(x_{i+1} - x_i) )

　　如果极限(lim_{n->infty }S_n(f))存在，那么函数(f(x))在这个区间上的黎曼积分为：( int_{a}^{b}f(x)dx = lim_{n->infty }S_n(f) )

　　我们可以这样理解：把区间分成n份，求函数与x轴的面积和