一、增广矩阵
假设我们要求解方程$Ax=b$，其中矩阵$A$和$b$如下所示：
$A = left[egin{array}{llll}{1} & {2} & {2} & {2} \ {2} & {4} & {6} & {8} \ {3} & {6} & {8} & {10}end{array} ight]$
$b = left[egin{array}{llll}{b_1}\ {b_2}\{b_3}end{array} ight]$
我们可以在矩阵$A$右侧加上一列b，得到：
$left[egin{array}{llll}{1} & {2} & {2} & {2} & {b_1} \ {2} & {4} & {6} & {8}& {b_2} \ {3} & {6} & {8} & {10}& {b_3}end{array} ight]$
此即为增广矩阵：即A和b一块二考虑
二、可解性
方程$Ax=b$可解的条件是：当$b$属于$A$的列空间（ C(A) ）时，也就是$b$是$A$的列向量的线性组合
换一种说法：如果矩阵$A$各行的线性组合得到零，那么$b$分量执行相同的操作也必须得到零向量（参考上面的矩阵$A$）
只有$b$满足了上面的条件，方程才有解
三、求$Ax=b$所有解
第一步：求一个特解
将所有自由变量设为0
我们将增广矩阵进行消元后：
$egin{array}{l}{left[egin{array}{}{1} & {2} & {2} & {2} & {b_{1}} \ {0} & {0} & {2} & {4} & {b_{2}-2 b_{1}} \ {0} & {0} & {0} & {0} &{b_{3}-b_{2}-b_{1}}end{array} ight]} \ {} end{array}$
方程有解的条件便是：$O=b_{3}-b_{2}-b_{1}$，假设$b=left[egin{array}{l}{1} \ {5} \ {6}end{array} ight]$，则消元矩阵为：
$egin{array}{l}{left[egin{array}{}{1} & {2} & {2} & {2} & {1} \ {0} & {0} & {2} & {4} & {3} \ {0} & {0} & {0} & {0} &{0}end{array}
ight]} \ {}end{array}$
然后求出主变量：
针对上面的例子，$x_2, x_4 = 0$，则求主变量过程简化为：
$x_{1}+2 x_{3}=1$
$2 x_{3}=3$
于是一个特解为：$x_p = left[egin{array}{c}{-2} \ {0} \ {3/2} \ {0}end{array} ight]$
还记得07）节中的零空间吗？可以去看看，于是我们的通解为：即特解和零空间（在假设的$b$的情况下）
$X = left[egin{array}{c}{-2} \ {0} \ {3/2} \ {0}end{array} ight]+C_{1}left[egin{array}{c}{-2} \ {1}\ {0} \ {0}end{array} ight]+ C_{2}left[egin{array}{c}{2} \ {0} \ {-2} \ {1}end{array} ight]$
注意：这里的特解是与$b$的值相关的
那么为什么这样的组合可以组成方程的通解呢？原因如下：
$Ax_p = b$
$Ax_n = 0$
两者相加：$A(x_p + x_n) = b$
其中$x_p$是$b$给定下的特解，$x_n$是零空间，所以通解就是特解加零空间
也就是：
四、秩（Rank）
矩阵的秩等于矩阵的主元数。如果矩阵的秩为r，则必有r<=m且r<=n，下面讨论满秩（full rank）的情形：
列满秩：r=n。每列都有主元，x的每一个分量都是主变量，没有自由变量。零空间N(A)之内只有零向量。方程无解或者有唯一解，如下
为何列满秩时，零空间N(A)之内只有零向量？因为之前我们讲过零空间定义，该实例中满足$Ax=0$的$x$只有零向量，该实例中的列向量的线性组合无法得到零向量，所以列满秩时，零空间N(A)之内只有零向量。而该实例方程的通解就只剩下特解了，而特解取决于$b$，只有$b$正好是$A$列的线性组合时，方程才有唯一解
$A=left[egin{array}{ll}{1} & {3} \ {2} & {1} \ {6} & {1} \ {5} & {1}end{array} ight] ightarrowleft[egin{array}{ll}{1} & {0} \ {0} & {1} \ {0} & {0} \ {0} & {0}end{array} ight]=R$
行满秩：r=m。每行都有主元，无论b取何值，方程Ax=b都有解。主变量r个，自由变量n-r个，如下
$A=left[egin{array}{llll}{1} & {2} & {6} & {5} \ {3} & {1} & {1} & {1}end{array} ight] ightarrowleft[egin{array}{llll}{1} & {0} & {*} & {*} \ {0} & {1} & {*} & {*}end{array} ight]=R$
满秩r=m=n，矩阵可逆。零空间只有零向量，无论b取何值，方程$Ax=b$都有唯一解
$A=left[egin{array}{ll}{1} & {2} \ {3} & {1}end{array} ight] ightarrowleft[egin{array}{ll}{1} & {0} \ {0} & {1}end{array} ight]=R$
综上：秩决定了方程组解的数量