本文介绍几个常用的与期望有关的不等式。
1 Cauchy–Schwarz不等式
Cauchy–Schwarz不等式有许多形式，这里只介绍它的期望函数的形式。
Cauchy–Schwarz不等式：
\[[\text{E}(XY)]^2 \leq \text{E}(X^2)\text{E}(Y^2)
\]
证明非常简单，只需先将\(Y\)分解为相互正交的两部分（类似于OLS回归）：
\[Y=\dfrac{\text{E}(XY)}{\text{E}(X^2)}X+\left(Y-\dfrac{\text{E}(XY)}{\text{E}(X^2)}X\right)
\]
然后两边取平方，再求期望。注意到取平方后交叉项的期望
\[\text{E}\left[\dfrac{\text{E}(XY)}{\text{E}(X^2)}X\cdot\left(Y-\dfrac{\text{E}(XY)}{\text{E}(X^2)}X\right)\right]=\dfrac{\text{E}(XY)^2}{\text{E}(X^2)}-\dfrac{\text{E}(XY)^2}{\text{E}(X^2)}=0
\]
交叉项期望为\(0\)，因此，只剩平方项的期望：
\[\begin{aligned}
\text{E}(Y^2)&=\dfrac{\text{E}(XY)^2}{\text{E}(X^2)^2}\text{E}(X^2)+\text{E}\left[\left(Y-\dfrac{\text{E}(XY)}{\text{E}(X^2)}X\right)^2\right]\\
&\geq \dfrac{\text{E}(XY)^2}{\text{E}(X^2)}
\end{aligned}
\]
得证。
2 Hölder不等式
事实上，Cauchy–Schwarz不等式是Hölder不等式的特例。
Hölder不等式：\(X\)和\(Y\)为两个随机变量，正数\(p\)和\(q\)满足
\[\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1
\]
则有
\[\text{E}\vert XY\vert\leq \left[\text{E}\vert X\vert^p\right]^{1/p}\left[\text{E}\vert Y\vert^q\right]^{1/q}
\]
证明过程如下：首先证明对于任意正数\(a\)和\(b\)，且正数\(p\)和\(q\)满足\(\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1\)，必有
\[\dfrac{1}{p}a^p+\dfrac{1}{q}b^q\geq ab
\]
当且仅当\(a^p=b^q\)时等号成立。
该式的证明，只需构造函数\(g(a)=\dfrac{1}{p}a^p+\dfrac{1}{q}b^q - ab\)，该函数最小值在\(a^{p-1}=b\)时取到\(0\)，因此上式成立。
有了这一步，再将\(a=\dfrac{\vert X\vert}{\left[\text{E}(\vert X\vert^p)\right]^{1/p}}\)和\(b=\dfrac{\vert Y\vert}{\left[\text{E}(\vert Y\vert^q)\right]^{1/q}}\)代入，再对两边同时取期望，即可证得Hölder不等式。
3 Minkowski不等式
利用Hölder不等式，可以得到另一个重要的不等式：Minkowski不等式。
Minkowski不等式：已知随机变量\(X\)和\(Y\)，当\(1\leq q<\infty\)时，必有
\[\left[\text{E}(\vert X+Y \vert^p)\right]^{1/p}\leq \left[\text{E}(\vert X\vert^p)\right]^{1/p}+\left[\text{E}(\vert Y \vert^p)\right]^{1/p}
\]
它的证明如下：
取满足\(\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1\)的\(q\)，有
\[\begin{aligned}
\text{E}(\vert X+Y \vert^p) =& \text{E}\left(\vert X+Y \vert \vert X+Y \vert^{p-1}\right)\\
\leq& \text{E}\left(\vert X \vert \vert X+Y \vert^{p-1}\right)+\text{E}\left(\vert Y \vert \vert X+Y \vert^{p-1}\right)\\
\leq& \left[\text{E}\left(\vert X \vert^p\right)\right]^{1/p}\left[\text{E}\left(\vert X+Y \vert^{(p-1)q}\right)\right]^{1/q}\\
& +\left[\text{E}\left(\vert Y \vert^p\right)\right]^{1/p}\left[\text{E}\left(\vert X+Y \vert^{(p-1)q}\right)\right]^{1/q}\\
=&\left\{\left[\text{E}\left(\vert X \vert^p\right)\right]^{1/p}+\left[\text{E}\left(\vert Y \vert^p\right)\right]^{1/p}\right\}\left[\text{E}\left(\vert X+Y \vert^{p}\right)\right]^{1/q}
\end{aligned}
\]
其中，第一个不等式用到了三角不等式\(\vert X\pm Y\vert \leq \vert X\vert+\vert Y\vert\)，第二个不等式则是直接使用Hölder不等式。
最后两边同除以\(\left[\text{E}\left(\vert X+Y \vert^{p}\right)\right]^{1/q}\)，即得证。