在求独立的随机变量之和的分布时，可用矩母函数法。
1 矩母函数法
定理 已知\(X_1,\ldots,X_n\)为独立的随机变量，各种的矩母函数为\(M_1,\ldots,M_n\)，\(a_1,\ldots,a_n\)为常数，则\(Y=\sum_{i=1}^{n}a_i X_i\)的矩母函数为
\[M_Y(t)=\text{E}[\exp(t\sum_{i=1}^{n}a_iX_i)]=\prod_{i=1}^{n}M_i(a_i t)
\]
2 案例
2.1 Bernoulli分布
\(X_1,\ldots,X_n\)为来自\(\text{Bernoulli}(p)\)分布的随机样本，则\(X_i\)的矩母函数为
\[M(t)=1-p+p e^t
\]
那么\(Y=\sum_{i=1}^{n}X_i\)的矩母函数为
\[M_Y(t)=(1-p+e^t)^n
\]
这正是\(\text{Binomial}(n,p)\)分布的矩母函数。
2.2 正态分布
若\(X_i\sim N(\mu_i,\sigma^2_i)\)，\(i=1,\ldots,n\)，且相互独立，正态分布的矩母函数为
\[M_X(t) = \exp(t\mu+\dfrac{1}{2}t^2 \sigma^2)
\]
那么\(Y=\sum_{i=1}^{n}a_i X_i\)的矩母函数为
\[\begin{aligned}
M_Y(t)=&\prod_{i=1}^{n}\exp\left(a_i\mu_i t+\dfrac{1}{2}a_i^2 \sigma_i^2 t^2\right)\\
=&\exp\left(t\sum_{i=1}^{n}a_i\mu_i+\dfrac{t^2}{2}\sum_{i=1}^{n}a_i^2 \sigma_i^2 \right)
\end{aligned}
\]
因此\(Y\sim N(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\mu_i,\sum\limits_{i=1}^{n}a_i^2 \sigma_i^2)\)。