方法一：先考虑两位数ab*ab=(a*10+b)*(a*10+b)=a*a*100+2*a*b*10+b*b,其各位数字之和等于a*a+2*a*b+b*b各位数字之和=(a+b)*(a+b)，若a+b还是二位数，则继续按二位数分解下去，直到所得结果为个位数为止。同理三位数abc*abc=(a+b+c)*(a+b+c)，四位数，五位数等等同样成立。
方法二：找是否有规律，比如说：周期。此题周期为18，大家可以去验证。
某数的九余数等于该数各位和的九余数，如此循环调用，正好与本题求数根相同。
因此求数根就是该数的九余数。
不过当该数能被九整除时，数根应该为九。
另外需要利用两数乘积的九余数等于两数九余数的乘积（当然必要时需要再次求余）。
我们知道，一个数除以9的余数一共有9种，分别是：1、2、3、4、5、6、7、8、0。
要想知道一个数除以9的余数，可以直接用除法计算，当然也有巧妙的方法。这个方法就是：先求出这个数各个数位上的数字之和，再用求出的和去除以9，得到的余数与原数除以9的余数相同。
例如，502÷9＝55……7，而5＋0＋2＝7，7÷9＝0……7；
125÷9＝13……8，而1＋2＋5＝8，8÷9＝0……8。
利用一个数的九余数可以对除法进行验算。
【例1】 966÷42＝23
根据商×除数＝被除数，用23的九余数5与42的九余数6相乘，看积的九余数与被除数的九余数3是否相同。
5×6＝30，而30的九余数是3，与966的九余数正好一样。所以可基本判定计算正确。
【例2】 462÷34＝13……20
根据商×除数＋余数＝被除数，用13的九余数4与34的九余数7相乘，再用所得积的九余数加上20的九余数2，看结果与被除数的九余数3是否相同。
4×7＝28，28的九余数是1，1＋2＝3，与462的九余数正好一样。所以可基本判定计算正确。
需要说明的是，之所以只能基本判定计算正确，是因为有两种错误是检查不出来的。一是多写或少写0或9，如402与492或42的九余数是完全一样的；二是颠倒各个数位上的数字，如402与204或240的九余数也是完全一样的。
如果一个数的各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除；如果一个数各个数位上的数字之和被9除余数是几，那么这个数被9除的余数也一定是几。利用这个性质可以迅速地判断一个数能否被9整除或者求出被9除的余数是几。
例如，3645732这个数，各个数位上的数字之和为
3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，
30被9除余3，所以3645732这个数不能被9整除，且被9除后余数为3。
但是，当一个数的数位较多时，这种计算麻烦且易错。有没有更简便的方法呢？
因为我们只是判断这个式子被9除的余数，所以凡是若干个数的和是9时，就把这些数划掉，如3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把这些数划掉后，最多只剩下一个3（如下图），所以这个数除以9的余数是3。
这种将和为9或9的倍数的数字划掉，用剩下的数字和求除以9的余数的方法，叫做弃九法。
一个数被9除的余数叫做这个数的九余数。利用弃九法可以计算一个数的九余数，还可以检验四则运算的正确性。
例1 求多位数7645821369815436715除以9的余数。
分析与解：利用弃九法，将和为9的数依次划掉。
只剩下7，6，1，5四个数，这时口算一下即可。口算知，7，6，5的和是9的倍数，又可划掉，只剩下1。所以这个多位数除以9余1。
例2 将自然数1，2，3，…依次无间隔地写下去组成一个数1234567891011213…如果一直写到自然数100，那么所得的数除以9的余数是多少？
分析与解：因为这个数太大，全部写出来很麻烦，在使用弃九法时不能逐个划掉和为9或9的倍数的数，所以要配合适当的分析。我们已经熟知
1＋2＋3＋…＋9＝45，
而45是9的倍数，所以每一组1，2，3，…，9都可以划掉。在1～99这九十九个数中，个位数有十组1，2，3，…，9，都可划掉；十位数也有十组1，2，3，…，9，也都划掉。这样在这个大数中，除了0以外，只剩下最后的100中的数字1。所以这个数除以9余1。
在上面的解法中，并没有计算出这个数各个数位上的数字和，而是利用弃九法分析求解。本题还有其它简捷的解法。因为一个数与它的各个数位上的数字之和除以9的余数相同，所以题中这个数各个数位上的数字之和，与1＋2＋…＋100除以9的余数相同。
利用高斯求和法，知此和是5050。因为5050的数字和为5＋0＋5＋0=10，利用弃九法，弃去一个9余1，故5050除以9余1。因此题中的数除以9余1。
例3 检验下面的加法算式是否正确：
2638457＋3521983＋6745785＝12907225。
分析与解：若干个加数的九余数相加，所得和的九余数应当等于这些加数的和的九余数。如果不等，那么这个加法算式肯定不正确。上式中，三个加数的九余数依次为8，4，6，8+4+6的九余数为0；和的九余数为1。因为0≠1，所以这个算式不正确。
例4 检验下面的减法算式是否正确：
7832145-2167953＝5664192。
分析与解：被减数的九余数减去减数的九余数（若不够减，可在被减数的九余数上加9，然后再减）应当等于差的九余数。如果不等，那么这个减法计算肯定不正确。上式中被减数的九余数是3，减数的九余数是6，由（9+3）-6＝6知，原题等号左边的九余数是6。等号右边的九余数也是6。因为6＝6，所以这个减法运算可能正确。
值得注意的是，这里我们用的是“可能正确”。利用弃九法检验加法、减法、乘法（见例5）运算的结果是否正确时，如果等号两边的九余数不相等，那么这个算式肯定不正确；如果等号两边的九余数相等，那么还不能确定算式是否正确，因为九余数只有0，1，2，…，8九种情况，不同的数可能有相同的九余数。所以用弃九法检验运算的正确性，只是一种粗略的检验。
例5 检验下面的乘法算式是否正确：
46876×9537＝447156412。
分析与解：两个因数的九余数相乘，所得的数的九余数应当等于两个因数的乘积的九余数。如果不等，那么这个乘法计算肯定不正确。上式中，被乘数的九余数是4，乘数的九余数是6，4×6＝24，24的九余数是6。乘积的九余数是7。6≠7，所以这个算式不正确。
说明：因为除法是乘法的逆运算，被除数=除数×商+余数，所以当余数为零时，利用弃九法验算除法可化为用弃九法去验算乘法。例如，检验383801÷253=1517的正确性，只需检验1517×253=383801的正确性。