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数论中的同余问题

“a,b关于模m同余”是等价关系，记作a=b(mod m)
若a1=a2(mod m),且b1=b2(mod m)，则a1+b1=a2+b2(mod m)
若a1=a2(mod m),且b1=b2(mod m)，则a1*b1=a2*b2(mod m)

同余式性质应用非常广泛，在处理某些整除性、进位制、对整数分类、解不定方程等方面的问题中有着不可替代的功能，与之密切相关的的数论定理有欧拉定理、费尔马定理和中国剩余定理。

基础知识

三个数论函数

对于任何正整数均有定义的函数，称为数论函数。在初等数论中，所能用到的无非也就有三个，分别为：高斯(Gauss)取整函数[x]及其性质，除数函数d(n)和欧拉(Euler)函数和它的计算公式。

1． 高斯(Gauss)取整函数[]

设是实数，不大于的最大整数称为的整数部分，记为[]；称为的小数部分，记为｛｝。例如：［0.5］＝0，等等。

由的定义可得如下性质：

性质1.；

性质2.；

性质3.设，则；

性质4.;;

性质5.　；

性质6.对于任意的正整数，都有如下的埃米特恒等式成立：

　　　；

为了描述性质7，我们给出如下记号：若，且　，则称为恰好整除，记为。例如：我们有等等，其实，由整数唯一分解定理：任何大于1的整数能唯一地写成的形式，其中为质（素）数（）。我们还可以得到：。

性质7.若，则

　　　请注意，此式虽然被写成了无限的形式，但实际上对于固定的，必存在正整数，使得，因而，故，而且对于时，都有。因此，上式实际上是有限项的和。另外，此式也指出了乘数的标准分解式中，素因数的指数的计算方法。

2．除数函数d(n)

正整数的正因数的个数称为除数函数，记为d(n)。这里给出d(n)的计算公式：

d(n)＝，为素数唯一分解定理中的指数。为了叙述地更加明确，我们组出素数唯一分解定理。

算术基本定理（素数唯一分解定理）：任何一大于1的整数均可以分解为素数的乘积，若不考虑素数乘积的先后顺序，则分解式是唯一的。

例如：。当一个整数分解成素数的乘积时，其中有些素数可以重复出现。例如在上面的分解式中，2出现了三次。把分解式中相同的素数的积写成幂的形式，我们就可以把大于1的正整数写成　　　（1）

此式称为的标准分解式。这样，算术基本定理也可以描述为大于1的整数的标准分解式是唯一的（不考虑乘积的先后顺序）。

　　推论1.若的标准分解式是（1）式，则是的正因数的充要条件是：

　　　　（2）

应说明（2）不能称为是的标准分解式，，其原因是其中的某些可能取零值（也有可能不含有某个素因数，因而）

推论2.设，且，若是整数的次方，则也是整数的次方。特别地，若是整数的平方，则也是整数的平方。

3. 欧拉(Euler)函数

设正整数0,1，……中与互素的个数，称之为的欧拉函数，并记为。若的标准分解式是，则的计算公式是：

　

例如：；

      .

以下我们讲述同余的概念：

同余的概念是高斯（Gauss）在1800年左右给出的。设是正整数，若用去除整数，所得的余数相同，则称为与关于模同余，记作，否则，称为与关于模不同余。

定义1.（同余）设，若，则称和对模同余，记作；若不然，则称和对模不同余，记作　。例如：，等等。

当时，，则称是对模的最小非负剩余。

由带余除法可知，和对模同余的充要条件是与被除得的余数相同。对于固定的模，模的同余式与通常的等式有许多类似的性质：

性质1. 的充要条件是也即。

性质2.同余关系满足以下规律：

（1）（反身性）；

（2）（对称性）若，则；

（3）（传递性）若，，则；

（4）（同余式相加）若，，则；

（5）（同余式相乘）若，，则；

反复利用（4）（5），可以对多个两个的（模相同的）同余式建立加、减和乘法的运算公式。特别地，由（5）易推出：若，为整数且，则；但是同余式的消去律一般并不成立，即从未必能推出，可是我们却有以下结果：

（6）若，则，由此可以推出，若，则有，即在与互素时，可以在原同余式两边约去而不改变模（这一点再一次说明了互素的重要性）。

现在提及几个与模相关的简单而有用的性质：

（7）若，｜，则；

（8）若，，则；

（9）若，则，特别地，若两两互素时，则有；

性质3.若，则；；

性质4.设是系数全为整数的多项式，若，则。

这一性质在计算时特别有用：在计算大数字的式子时，可以改变成与它同余的小的数字，使计算大大地简化。如例3。

定义2.设，是使成立的最小正整，则称为对模的阶。

在取定某数后，按照同余关系把彼此同余的整数归为一类，这些数称为模的剩余类。一个类的任何一个数，都称为该类所有数的剩余。显然，同类的余数相同，不同类的余数不相同，这样我们就把全体整数按照模划分为了个剩余类：。在上述的个剩余类中，每一类任意取一个剩余，可以得到个数，称为模的一个完全剩余系。例如关系模7，下面的每一组数都是一个完全剩余系：

0，1，2，3，4，5，6；

-7，8，16，3，-10，40，20；

-3，-2，-1，0，1，2，3。

 显然，一组整数成为模的完全剩余系只需要满足两个条件（1）有个数；（2）各数关于模两两不同余。最常用的完全剩余系是最小非负完全剩余系及绝对值最小完全剩余系。模的最小非负完全剩余系是：0，1，2，………,;即除数为时，余数可能取到的数的全部值。

当为奇数时，绝对值最小的完全剩余系是：；

当为偶数时，绝对值最小的完全剩余系有两个：

；

。

以上只是我们个人对同余及剩余类的理解，为了方便大家研究，我们把有关材料上的具体概念给出，希望大家好好地研究：

定义3.（同余类）设，每一个这样的类为模的同余类。

说明：整数集合可以按模来分类，确切地说，若和模同余，则和属同一类，否则不属于同一类，每一个这样的类为模的一个同余类。由带余除法，任一整数必恰与0,1,……，中的一个模同余，而0,1,……，这个数彼此模不同余，因此模共有个不同的同余类，即。

例如，模2的同余类共有两个，即通常说的偶数类与奇数类，这两类中的数分别具有形式和（为任意整数）。

定义4。（剩余类）设是正整数，把全体整按对模的余数分成类，相应的个集合记为：，其中，称为模的一个剩余类。以下是几条常用性质：

（1）且；

（2）每一个整数仅在的一个里；

（3）对于任意，则的充要条件是。

定义5.（完全剩余系）一组数称为模的完全剩余系，如果对任意有且仅有一个是对模的剩余，即。换一种说法更好理解：

设为模的全部剩余类，从每个中任取一个，得个数组成的数组，叫做模的一个完全剩余系。

说明：在个剩余类中各任取一个数作为代表，这样的个数称为模的一个完全剩余系，简称模的完系。换句话说，个数称为模的一个完系，是指它们彼此模不同余，例如0,1，2，……，是模的一个完系，这称作是模的最小非负完系。

性质：（1）个整数构成模的一个完全剩余系两两对模不同余；

　　　（2）若，则与同时跑遍模的完全剩余系。

典例分析

例1．试解方程：。

解：因为左边是整数，因而右边的分式也应该是整数，所以

于是，从而，故。

但是是整数，故，，代入前面的不等式，得，直接观察即知，于是。

例2．数100！的十进位制表示中，未尾连续地有多少位全是零？

解：命题等价于100！最多可以被10的多少次方整除。因为因而100！中2的指数大于5的指数，所以100！中5的指数就是所需求出的零的位数。

由即可知100！的未尾连续地有24位全是数码零。

例3．试求被50除所得的余数。

解：由于是关于的整系数多项式，而，于是知

。

又注意到，故

又，所以

注意到，因而29就是所求的余数。

说明：在上述过程中，我们已经看到的作用。一般而言，知道一个整数的多少次幂关于模同余于是非常有用的。事实上，若，则对大的指数利用带余除法定理，可得，于是有，这里余数是一个比小得多的数，这样一来，计算的问题，就转化成了计算余数次幂的问题，从而使计算简单化。

例4．设，计算某星期一后的第天是6星期几？

解；星期几的问题是被7除求余数的问题。由于，于是，

，因而。

为了把指数的指数写成的形式，还需取6为模来计算。为此我们有

，进而有，，依次类推，有，所以

从而，

这样，星期一后的第天将是星期五。

例5．求所有的素数，使与也是素数。

分析：要使与也是素数，应该是对除以某个数素的余数进行分类讨论，最后确定只能是这个素数。由于只有两个数，所以不能太大，那样讨论起来也不会有什么效果，试验发现对本题不起任何效果，现对展开讨论。

解：设，，且

若或4时，，；

若或3时，，；

即时，为5的倍数且比5大，不为质数。故，此时，

；都是素数。

即可题有唯一解。

注：要使几个数同为质数，一般是对这几个数也合乎以某一质数的余数来确定，如均为质数，可得只能为3，由于这是的一次式，故三个数就模3，而二次式对三个数就模5，四个数一般就模7了。

例6．求满足的全部正整数。

分析：如果，两边，得，这是不可能的；

　　　如果，而中有一个大于1，则另一个也大于1，得，故为奇数，，得，而，为奇数，从而，矛盾！

所以为唯一解。

注：在解不定方程时，往往要分情况讨论，也常常利用同余来导出一些性质求出矛盾！

例7．数列满足：

证明：（1）对任意为正整数；(2)对任意为完全平方数。（2005年全国高中数学联赛试题）

证明：（1）由题设得且严格单调递增.将条件式变形得两边平方整理得　①

　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①-②得

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

由③式及可知，对任意为正整数.

（2）将①两边配方，得　④

由③式≡

∴≡≡0（mod3）∴为正整数，④式成立.

是完全平方数.

例8．若可以写成有限小数，那么自然数的值是多少？

解：由于

若与互素，则分数是既约分数；

若与不互素，设它们的公约数为，且，设，则，故与的公约数是5，此时分数的分子、分母只有公约数5。

由于可以写成有限小数，故约分之后的分母除了2,5以外，没还有其它的公约数，因此。

因为是奇数，，故，即。

由于故，从而，即，

故只有才是有限小数。