ACM学习历程—SGU 275 To xor or not to xor（xor高斯消元）

题目链接：http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=275

这是一道xor高斯消元。

题目大意是给了n个数，然后任取几个数，让他们xor和最大。

首先根据题目意思可以列出下列方程组：

//a11x1+a21x2……=d[1]

//a12x1+a22x2……=d[2]

//...

（每个数二进制按列来写，xi为0或1，表示取或不取这个数。）

结果的二进制即为d数组。

由于需要结果最大，而结果最多是d全为1，那么就假设所有d均为1，然后进行高斯消元，来判断该行的d是否能取到。

步骤如下：

1、建立增广矩阵。

2、从最后一行往前扫，如果该行存在1，那么d[i]自然能取到1，这样需要把该列其它的1消掉，由于是高斯消元，消1的时候需要整行消；如果该行不存在1，而且d[i] == 0，自然该行的方程仍然有解。

3、消元的过程中保存答案。

复杂度O(63*63n)

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#define LL long long

using namespace std;

const int len = 63;
int n, a[64][105];
bool vis[105];

void xorGauss()
{
    LL ans = 0;
    for (int i = len-1; i >= 0; i--)
    {
        int j;
        for (j = 0; j < n; j++)
        {
            if (a[i][j] && !vis[j])
            {
                vis[j] = true;
                ans += (LL)1<<i;
                break;
            }
        }
        if(j == n)
        {
            if(a[i][n] == 0)
                ans += (LL)1<<i;
        }
        else
        {
            for (int k = i-1; k >= 0; k--)
            {
                if (a[k][j])
                {
                    for (int v = 0; v <= n; v++)
                        a[k][v] ^= a[i][v];
                }
            }
        }
    }
    printf("%I64d
", ans);
}

void input()
{
    memset(a, 0, sizeof(a));
    memset(vis, false, sizeof(vis));
    //next is input
    LL v;
    int k;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        scanf("%I64d", &v);
        for (int j = 0; v > 0; j++)
        {
            k = v&1;
            a[j][i] = k;
            v >>= 1;
        }
    }
    //pre is input
    for (int i = 0; i < len; i++)
        a[i][n] = 1;
}

int main()
{
   // freopen("test.in", "r", stdin);
    while (scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        input();
        xorGauss();
    }
    return 0;
}

其实到这里这个问题并没有完美解决。

起始从前面的方程组可以看出来，一组矩阵，可以等同于另一组等价的矩阵。

于是我们只需要找出这个矩阵里面的最大线性无关组。（数之间不能互相表示）

然后通过线性无关组就能表示最大值了。

其实就是把矩阵化成最简矩阵。

然后这时把一个数看成整体，就能用位运算优化了。

效率O(63n)

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#define LL long long

using namespace std;

//xor高斯消元求线性基
//时间复杂度O(63n)
const int maxN = 105;
int n;
LL a[maxN];

int xorGauss(int n)
{
    int row = 0;
    for (int i = 62; i >= 0; i--)
    {
        int j;
        for (j = row; j < n; j++)
            if(a[j]&((LL)1<<i))
                break;
        if (j != n)
        {
            swap(a[row], a[j]);
            for (j = 0; j < n; j++)
            {
                if(j == row) continue;
                if(a[j]&((LL)1<<i))
                    a[j] ^= a[row];
            }
            row++;
        }
    }
    return row;
}

void work()
{
    for (int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%I64d", &a[i]);
    int row;
    row = xorGauss(n);
    LL ans = 0;
    for (int i = 0; i < row; ++i)
        ans = max(ans, ans^a[i]);
    printf("%I64d
", ans);
}

int main()
{
    //freopen("test.in", "r", stdin);
    while (scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        work();
    }
    return 0;
}