Tarjan专题总结复习

定义：

(dfn[x])：(x)第一次被访问的时间顺序（时间戳）

搜索树：每个节点只访问一次，所有访问过的边((x,y))构成一棵搜索树

(low[x])：定义为以下节点的时间戳的最小值：

(1.)(subtree(x))中的节点。

(2.)通过(1)条不在搜索树上的边，能够到达(subtree(x))的节点。

代码：

void Tarjan(int x)
{
    low[x] = dfn[x] = ++ ind;//初始值
    que[ ++ top] = x;//进队
    vis[x] = 1;//标记
	for (int i = hd[x]; i; i = nxt[i])
	{
		int y = to[i];//枚举x子节点y
		if (!dfn[y])
		{
			Tarjan(y);
			low[x] = min(low[x], low[y]);//在子树中，是x的儿子，直接更新
		}
		else if (vis[y]) low[x] = min(low[x], dfn[y]);
        //已经访问过，且y不是x的儿子，因为dfn[y]一定小于dfn[x]，那么用dfn[y]更新（不用low[y]更新，因为它们不一定在同一个强连通分量中，防止更新过头）
    }
    if (dfn[x] == low[x])//形成了一个环，说明x是一个强连通分量的根
    {
        cnt ++ ;//新的强连通分量
        int now = -1;
        do
        {
            now = que[top -- ];
            vis[now] = 0;
            col[now] = cnt;//染色，标记now属于当前强连通分量cnt
        } while (now != x);//弹出
    }
    return;
}

应用

缩点

在跑了一遍Tarjan后，对于原来的每条边对应的点对((x,y))，若(col[x]==col[y])，说明它们在同一个强连通分量内，则它们不用在新的图中连边，否则要连。

伪代码：

for (int x = 1; x <= n; ++ x)
{
    for (int i = hd[x]; i; i = nxt[i])
    {
        int y = to[i];
        if (col[x] != col[y]) add(col[x], col[y]);
    }
}

割点/割边

割点定义：若去掉无向联通图的某个点后，此图不连通，则该点为割点。割边同理。

判断方法：

割边：(dfn[x]<low[y])（说明从(subtree(y))出发，在不经过(x,y)的前提下，无论走那条边，都无法到达(x)或比(x)更早的节点，这就是一条割边）

割点：(dfn[x]le{low[y]})（和割边同理。特别地，若(x)是搜索树根节点，那么(x)是割点当且仅当它存在至少两个子节点(y_1,y_2)满足条件）

伪代码（割点）

if (low[y] >= dfn[x])
{
    t ++ ;		
    if (x != rt || t > 1) cut[x] = 1;	
}