整除的定义：a,b是两个任意整数，b!=0,若存在整数q,使得a=b*q,称"a能被b整除"，或"b能整除a",或"b是a的因数"，或"a是b的倍数"，用记号"b|a"表示。
整除的性质：
(1)b|0，因为0=b*0
(2)1|a，因为a=1*a
(3)b|a <=> b| abs(a)
(4)a|b, b|c => a|c，因为a|b,b|c => b=a*q1,c=b*q2 => c=a*q1*q2
定理1：a与abs(a)的约数相同。
因为6=1*6=2*3=(-1)*(-6)=(-2)*(-3)，所以6的因数有1,-1,2,-2,3,-3,6,-6。
=> a与abs(a)的所有的约束是相同的，因为 a=b*q <=> a = (-b)*(-q)。
=> a的约数是成对出现的，b|a <=> -b|a，因为因数是成对出现的，所以在平时的讨论中只讨论正因数。
定理2：a,b是整数，都是m的倍数，则a+b,a-b都是m的倍数。
定理3：如果a1,a2,...,an都是m的倍数，则q1*a1+q2*a2+...+qn*an是m的倍数。
定理4(带余除法)：若a,b是两个整数，b>0，则存在两个整数q,r,使得
a=b*q+r
其中0<=r<b，而且，q,r是唯一的。
如：当a=16，b=5，16=5*3+1
当a=-16，b=5，-16=5*(-3)-1=6*(-3)+2 => -16除以5的余数是2
当a=20，b=6，20=6*3+2
当a=-20，b=6，-20=6*(-3)-2=6*(-4)+4 => -20除以6的余数是4
a = b*q+r
-a = b*(-q)-r
(当r=0) = b*(-q)
(当r!=0) = b*(-q-1)+b-r
注：在minGW的GCC编译器中运行-16/5=-3,-16%5=-1，与理论的不是一样的。
证明：做整数列 ...,-3b,-2b,-b,0,b,2b,3b,...
存在q使q*b<=a<(q+1)*b
令r=a-q*b，则a=q*b+r
r>=0,q-q*b-b<0 => a-q*b<b => r<b
=> 0<=r<b
设a=b*q1+r1, 0<=r1<b
b(q-q1)+r-r1=0,b(q-q1)=r1-r
b*abs(q-q1)=abs(r-r1)<b，若q-q1!=0，b*abs(q-q1)>=b => abs(r-r1)>=b
又因为0<=r<b => -b<r-r1<b => abs(r-r1)<b
=> r = r1
推论：若a,b是两个整数，则存在两个整数q,r,使得
a=b*q+r
其中0<=r<abs(b)，而且q,r是唯一的。
带余除法a=b*q+r,0<=r<b，则q叫做a除以b的不完全商，r叫做a除以b的余数。