【思维题 状压dp】APC001F

可能算是道中规中矩的套路题吧……

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Problem Statement

You are given a tree with N vertices. The vertices are numbered 0 through N−1, and the edges are numbered 1 through N−1. Edge i connects Vertex xi and yi, and has a value ai. You can perform the following operation any number of times:

• Choose a simple path and a non-negative integer x, then for each edge e that belongs to the path, change ae by executing ae←ae⊕x (⊕ denotes XOR).

Your objective is to have ae=0 for all edges e. Find the minimum number of operations required to achieve it.

Constraints

• 2≤N≤105
• 0≤xi,yi≤N−1
• 0≤ai≤15
• The given graph is a tree.
• All input values are integers.

题目大意

给定一个 $n$ 个节点的树，节点的标号为 $0sim n-1$，边的标号为 $1sim n-1$。每条边 $i$ 连接节点 $x_i$ 和 $y_i$，并且有一个权值 $a_i$。你可以进行如下的操作若干次。

• 选择一条简单路径以及一个非负整数 $x$，然后对于每条属于这条路径的边，将它的权值异或上 $x$。

你的目标是让所有边的权值变成 $0$，同时，最小化操作的次数。

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题目分析

我的初步想法是考虑对路径权值按位拆分。可能是受以前做过的一道序列一维问题的影响吧，就一直朝着这个思路想下去了……这个思路的关键在于没法处理不同位的路径的合并。

考虑设计一个守恒的部分量：将每个点记点权为相连所有路径边权的异或和。这么处理的好处在于对路径(u,v)进行一次操作之后，全图只有u,v的点权改变。对于点权相同的点对，最优操作当然是直接将它们消去；于是最后剩下的点权最多只有16种。注意到点权0是没有影响的，所以处理完点权之后，再对剩下的15种点权做一遍状压dp就可以了。

//CXR的快读板子怎么这么快

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 100000
#define P 15
#define INF 1e9
#define Gmin(x,y) (x>(y)&&(x=(y)))
const int maxn = 100035;
const int maxs = 1<<17;

int n,cnt,a[maxn],f[maxs],sta,ans;

class Class_FIO
{
    private:
        #define FS 100000
        #define tc() (A==B&&(B=(A=FI)+fread(FI,1,FS,stdin),A==B)?EOF:*A++)
        #define pc(c) (putchar(c))
        #define tn(x) (x<<3)+(x<<1)
        #define D isdigit(c=tc())
        int T;char c,*A,*B,FI[FS],S[FS];
    public:
        I Class_FIO() {A=B=FI;}
        Tp I void read(Ty& x) {x=0;W(!D);W(x=tn(x)+(c&15),D);}
        Tp I void write(Ty x) {W(S[++T]=x%10+48,x/=10);W(T) pc(S[T--]);}
        Ts I void read(Ty& x,Ar&... y) {read(x),read(y...);}
}F;
int dp(int x)
{
    if (!x) return 0;
    if (f[x]!=-1) return f[x];
    int ret = 1e9;
    for (int i=1; i<16; i++)
        if (x&(1<<i)) for (int j=1; j<16; j++)
            if ((x&(1<<j))&&i!=j)
                ret = std::min(ret, dp(x^(1<<i)^(1<<j)^(1<<(i^j)))+1+((x&(1<<(i^j)))?1:0));
    f[x] = ret;
    return ret;
}
int main()
{
    F.read(n);
    memset(f, -1, sizeof f);
    for (int i=1; i<n; i++)
    {
        int x,y,z;
        F.read(x), ++x, F.read(y), ++y, F.read(z);
        a[x] ^= z, a[y] ^= z;
    }
    for (int i=1; i<=n; i++)
        if (a[i]&&((sta>>a[i])&1)) sta ^= 1<<a[i], ++ans;
        else if (a[i]) sta ^= 1<<a[i];
    printf("%d
",ans+dp(sta));
    return 0;
}

END