【组合数学】cf660E. Different Subsets For All Tuples

比较套路的组合数学题

For a sequence a of n integers between 1 and m, inclusive, denote f(a) as the number of distinct subsequences of a (including the empty subsequence).

You are given two positive integers n and m. Let S be the set of all sequences of length n consisting of numbers from 1 to m. Compute the sum f(a) over all a in S modulo 109 + 7.

Input

The only line contains two integers n and m (1 ≤ n, m ≤ 106) — the number of elements in arrays and the upper bound for elements.

Output

Print the only integer c — the desired sum modulo 109 + 7.

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题目大意

一个长度为 $N$ 的数列，每个位置上的数字可以是$[1,M]$，这样的数列一共有$M^N$个。对于$M^N$这个数列，求其本质不同的子序列个数之和。答案对 $P$ 取模。

$1≤N,M≤10^6，2≤P≤10^9+7$，保证 $P$ 是质数。

题目分析

正经推式子

首先注意到对于长度相同的子序列，它们在答案中的贡献是相同的。那么问题变为了计算$f_i$：长度为$i$的子序列对答案的贡献。

为了保证不算重贡献，我们所求的子序列必须是在全数列中唯一出现一次的方案。也就是说，设长为$i$的子序列是${a_1,a_2cdots a_i}$，那么$a_1$之前不能出现$a_1$；$a_1cdots a_2$之间不能出现$a_2$；$cdots$以此类推。从最基础的式子考虑起：枚举一个数$j$为长度为$i$的子序列在序列中的结束位置。则有：

$sum f_i=sumlimits_{i=1}^{n}sumlimits_{j=i}^{n}m^i{j-1choose i-1}m^{n-j}(m-1)^{j-i}$

其中，$m^i​$表示这个长度为$i​$的序列有几种本质不同的方案数；${j-1choose i-1}​$表示除了强制固定在$j​$位的最后一个数字，剩下的可在前$j-1​$中任意选取；$m^{n-j}​$表示$j+1cdots n​$的位置可以任意排列数字；$(m-1)^{j-i}​$表示前$j-i​$位置由于有且仅有一次我们所强制的子序列，那么每个位置只能安排$m-1​$个数。

按照常规套路，把$i,j​$的两重循环互换位置：

$sum f_i=sumlimits_{j=1}^{n}sumlimits_{i=1}^{j}{j-1choose i-1}m^{n-j+i}(m-1)^{j-i}$

注意到后一部分是一个类似二项式展开的形式，因此把$i$改为$0cdots j-1$的循环。

$sum f_i=sumlimits_{j=1}^{n}m^{n-j+1}sumlimits_{i=0}^{j-1}{j-1choose i}m^i(m-1)^{j-i-1}$

$sum f_i=sumlimits_{j=1}^{n}m^{n-j+1}(2m-1)^{j-1}$

那么所求答案就是$ans=sum f_i+M^N$.因此可以使用$O(nlog n)$或$O(n)$的复杂度通过此题。

#include<bits/stdc++.h>
#define MO 1000000007

int n,m;
long long ans;

int qmi(int a, int b)
{
    int ret = 1;
    for (; b; b>>=1, a=1ll*a*a%MO)
        if (b&1) ret = 1ll*ret*a%MO;
    return ret;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1; i<=n; i++)
        ans = (ans+1ll*qmi(m, n-i+1)*qmi(2*m-1, i-1)%MO)%MO;
    printf("%lld
",(ans+1ll*qmi(m, n))%MO);
    return 0;
}

关于找规律的技巧

考虑答案大概是一个$ans=sumlimits_{i=1}^n k_1(m+a)k_2(2m+b)k_3(m^2+c)cdots$的形式。

那么就依据暴力来观察答案。

当然前提条件是暴力写得又快又准……

END