【wqs二分 || 决策单调性】cf321E. Ciel and Gondolas

把状态看成层，每层决策单调性处理

题目描述

题目大意

众所周知，贞鱼是一种高智商水生动物。不过他们到了陆地上智商会减半。
这不？他们遇到了大麻烦！
n只贞鱼到陆地上乘车，现在有k辆汽车可以租用。
由于贞鱼们并不能在陆地上自由行走，一辆车只能载一段连续的贞鱼。
贞鱼们互相有着深深的怨念，每一对贞鱼之间有怨气值。
第i只贞鱼与第j只贞鱼的怨气值记为Yij，且Yij=Yji，Yii=0。
每辆车载重不限，但是每一对在同辆车中的贞鱼都会产生怨气值。
当然,超级贞鱼zzp长者希望怨气值的总和最小。
不过他智商已经减半,想不出分配方案。
他现在找到了你,请你帮助他分配贞鱼们,并输出最小怨气值之和ans。
n<=4000，1 ≤ k ≤min(n , 800)

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题目分析

做法一：wqs二分

这个题第一眼就像是wqs二分，并且答案函数的确是一个凸函数的形状。

于是首先是个wqs二分的模板题。

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
const int maxn = 4035;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n,k,L,R;
ll a[maxn][maxn],g[maxn][maxn],f[maxn],h[maxn],ans;

char tc(){static char tr[1000000],*A=tr,*B=tr;return A==B&&(B=(A=tr)+fread(tr,1,1000000,stdin),A==B)?EOF:*A++;}
#define getchar tc
int read()
{
    char ch = getchar();
    int num = 0, fl = 1;
    for (; !isdigit(ch); ch=getchar())
        if (ch=='-') fl = -1;
    for (; isdigit(ch); ch=getchar())
        num = (num<<1)+(num<<3)+ch-48;
    return num*fl;
}
ll check(int w)
{
    memset(f, 0x3f3f3f3f, sizeof f);
    memset(h, 0x3f3f3f3f, sizeof h);
    f[0] = h[0] = 0;
    for (int i=1; i<=n; i++)
        for (int j=0; j<i; j++)
            if (f[i] > f[j]+g[j+1][i]+w||(f[i]==f[j]+g[j+1][i]+w&&h[j]+1 < h[i])){
                f[i] = f[j]+g[j+1][i]+w, h[i] = h[j]+1;
            }
    if (h[n] <= k) ans = f[n]-k*w;
    return h[n];
}
int main()
{
    n = read(), k = read();
    for (int i=1; i<=n; i++)
        for (int j=1; j<=n; j++) a[i][j] = read();
    for (int i=n; i>=1; i--)
        for (int j=i; j<=n; j++)
            g[i][j] = g[i+1][j]+g[i][j-1]-g[i+1][j-1]+a[i][j];
    ans = INF, L = 0, R = g[1][n];
    for (int mid=(L+R)>>1; L<=R; mid=(L+R)>>1)
        if (check(mid) <= k) R = mid-1;
        else L = mid+1;
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}

做法二：决策单调性

$n^2$dp是$f[j][i]$表示前$i$个鱼分为$j$组的最小代价。对于每一个同样的$j$，其转移是具有单调性的。那就是说把$i$视作层，剩下的就是层之间的转移。

暂时还没写。

END