【组合数学】AGC036C

找性质的能力不行

Problem Statement

We have a sequence of $N$ integers: $x=(x_0,x_1,cdots,x_{N−1})$. Initially, $x_i=0$ for each $i (0≤i≤N−1)$.

Snuke will perform the following operation exactly $M$ times:

Choose two distinct indices $i,j (0≤i,j≤N−1, i≠j)$. Then, replace $x_i$ with $x_i+2$ and $x_j$ with $x_j+1$.
Find the number of different sequences that can result after $M$ operations. Since it can be enormous, compute the count modulo $998244353$.

Constraints

• $2≤N≤10^6$
• $1≤M≤5×10^5$
• All values in input are integers.

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题目分析

这类题的一般套路是把一些奇奇怪怪的操作转化成局部量守恒；或者是操作对一些特殊量的影响有什么限制。

这里首先能够看出限制一：$forall a_i le 2m$.

再来考察一下操作有什么特性：在两个位置$i,j$分别加上$2,1$也就是把$j$的奇偶性翻转；$i$的奇偶性不影响。初始每个位置都为偶。这说明全部操作只有$m$次翻转奇偶性的机会，由此得到限制二：$sumlimits [x_i为奇数]le m$.

这两个限制的必要性上面已经论述了，充分性可以通过对$m$归纳得到。

现在问题变成了：

给定$n,m$，求长度为$n$的可空数列${x_i}$满足$[sum x_i=3m ]and [forall x_i le 2m ]and [sumlimits [x_i为奇数]le m]$的个数。

第一条限制很好处理，问题主要是第二条限制。

首先来考虑单纯满足第二条限制的数列个数，不妨记$f(n,m,k)$表示把$m$分为$n$组非空、且奇数个数$le k$的方案数。那么这里有$f(n,3m,m)=sumlimits _{p=1,p≡3mpmod 2}^n {frac{3m-p}{2}+n-1choose n-1}{n choose p}$，其中$p$是枚举的奇数个数。

容斥地考虑，现在要计算的另一部分问题应是$[exists x_i > 2m ]and [sumlimits [x_i为奇数]le m]$，也即：枚举最大数位置$pos$，把$m$分为$n$组非空、奇数个数$le k$、且$x_{pos}$非空的方案数。

这里的“某一位置非空”就是很经典的问题了，可以先用$m-1$构造非空数列、再将$1$加到$x_{pos}$上；也可以再容斥一次，用$m$构造$n$的方案减去用$m$构造$n-1$的方案，意即此位置为零不占用$m$.

#include<bits/stdc++.h>
#define MO 998244353
typedef long long ll;
const int maxn = 3000000;

ll n,m,ans;
ll inv[maxn],fac[maxn];

ll C(ll n, ll m)
{
    if (n < m) return 0;
    return fac[n]*inv[m]%MO*inv[n-m]%MO;
}
ll f(ll n, ll m, ll k)
{
    ll ret = 0;
    for (ll p=0; p<=k; p++)
        if (((m-p)&1)==0){
            ret = (ret+C((m-p)/2ll+n-1, n-1)*C(n, p)%MO)%MO;
        }
    return ret;
}
int main()
{27     scanf("%lld%lld",&n,&m);
    fac[0] = inv[0] = inv[1] = 1;
    for (int i=2; i<=n+3*m; i++)
        inv[i] = (MO-1ll*MO/i*inv[MO%i]%MO);
    for (int i=1; i<=n+3*m; i++)
        inv[i] = inv[i-1]*inv[i]%MO, fac[i] = fac[i-1]*i%MO;
//    ans = (f(n, 3*m, m)-n*(f(n, m, m)-f(n-1, m, m))%MO+MO)%MO;
    ans = (f(n, 3*m, m)-n*(f(n, m-1, m))%MO+MO)%MO;
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}

END