富有思维性的树形dp
Description
Input
Output
Sample Input
1 2
3 1
3 4
5 3
7 5
8 5
5 6
Sample Output
HINT
10%的数据中，n ≤ 1000, K = 1；
30%的数据中，K = 1；
80%的数据中，每个村庄相邻的村庄数不超过 25；
90%的数据中，每个村庄相邻的村庄数不超过 150；
100%的数据中，3 ≤ n ≤ 100,000, 1 ≤ K ≤ 2。
题目分析
初看这题觉得毫无头绪，好像怎么也不能把它和最长链联系在一起。特别是新建的边必须经过一次的限制，让人一脸懵逼。
k=0
不过首先挖掘性质：显然的是，若只是树形图，路径最短为$2n-2$；并且实际上起点任意对于答案来说都是一样的。
k=1
然后我们来想一想$k=1$的情况。比如现在我们有一颗树长成这样：
然后我们现在添加一条边：
可以发现形成的环上，若环长度为$lens$，那么需要经过的路径就从$2*lens$变为了$lens+1$。并且对于其他节点来说，它们的花费是不改变的。
由此自然想到我们将最长链的首尾相连，就可以得到$k=1$时的答案。
k=2
有了k=1，扩展至k=2的思路大致相同。除了最长链形成的环，我们需要在树上另找一条次长链。
这里有一个技巧就是把最长链上的边权全都改为-1.引用CQzhangyu的一段话：
一开始想的是将直径拎出来，然后跑一个非常复杂的树形DP，但是看了题解。。。直接将直径上的所有边权值设为-1，再求一遍直径即可。正确性如何保证？如果这两条路径不相交，显然正确；如果相交，那么相当于将原路径拆成了两条。所以做法还是很巧妙的~
还有Coco_T的另一段话：
如果我们什么处理都没有，直接求一个次长链（次短路方法），
可能会和最长链重合，那么最长链上的一部分就会走两遍
所以我们在求出最长链之后，把最长链上的边权赋为-1，
这样再跑一个裸的直径就好了
（这样就可以保证可以在新求出的直径中尽量少重合原先的直径）
其实感觉能够感性理解，但是好像依旧不甚明白……？
还有要注意的是：
1 if (k==2){ 2 mx = 0; 3 for (int i=s1[dir]; i!=-1; i=s1[edges[i].y]) 4 edges[i].val = edges[i^1].val = -1; 5 for (int i=s2[dir]; i!=-1; i=s1[edges[i].y]) 6 edges[i].val = edges[i^1].val = -1; 7 dfs(1, 0); 8 ans = ans-mx+1; 9 }
这里第二部分的作用是，将dir的次长链的边权赋为-1.乍一眼看上去好像应该是for (int i=s2[dir]; i!=-1; i=s1[edges[i].y])，不过实际上次长链除了头上是s2，后面的路径走的都是其最大值。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 const int maxn = 100035; 3 4 struct Edge 5 { 6 int y,val; 7 Edge(int a=0, int b=0):y(a),val(b) {} 8 }edges[maxn<<1]; 9 int n,k,mx,dir,ans; 10 int edgeTot,nxt[maxn<<1],head[maxn]; 11 int s1[maxn],s2[maxn]; 12 13 int read() 14 { 15 char ch = getchar(); 16 int num = 0; 17 bool fl = 0; 18 for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) 19 if (ch=='-') fl = 1; 20 for (; isdigit(ch); ch = getchar()) 21 num = (num<<1)+(num<<3)+ch-48; 22 if (fl) num = -num; 23 return num; 24 } 25 void addedge(int u, int v) 26 { 27 edges[++edgeTot] = Edge(v, 1), nxt[edgeTot] = head[u], head[u] = edgeTot; 28 edges[++edgeTot] = Edge(u, 1), nxt[edgeTot] = head[v], head[v] = edgeTot; 29 } 30 int dfs(int now, int fa) 31 { 32 int mx1 = 0, mx2 = 0; 33 for (int i=head[now]; i!=-1; i=nxt[i]) 34 if (edges[i].y!=fa){ 35 int tt = dfs(edges[i].y, now)+edges[i].val; 36 if (tt > mx1) 37 mx2 = mx1, mx1 = tt, s2[now] = s1[now], s1[now] = i; 38 else if (tt > mx2) mx2 = tt, s2[now] = i; 39 } 40 if (mx1+mx2 > mx) mx = mx1+mx2, dir = now; 41 return mx1; 42 } 43 int main() 44 { 45 memset(head, -1, sizeof head); 46 memset(s1, -1, sizeof s1); 47 memset(s2, -1, sizeof s2); 48 n = read(), k = read(); 49 for (int i=1; i<n; i++) 50 addedge(read(), read()); 51 dfs(1, 0); 52 ans = 2*n-mx-1; 53 if (k==2){ 54 mx = 0; 55 for (int i=s1[dir]; i!=-1; i=s1[edges[i].y]) 56 edges[i].val = edges[i^1].val = -1; 57 for (int i=s2[dir]; i!=-1; i=s1[edges[i].y]) 58 edges[i].val = edges[i^1].val = -1; 59 dfs(1, 0); 60 ans = ans-mx+1; 61 } 62 printf("%d ",ans); 63 return 0; 64 }
END