快速幂

一、整数快速幂

　　题目描述

　　　　给你三个整数 b,p,k 求 b^p mod k;

　　输入格式

　　　　一行三个整数 b,p,k

　　输出格式

　　　　输出 bp mod k=s

　　就是模板，打出来很简单，但有一个地方容易出错。

　　看如下两个代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
long long Mod=1000;
long long Pow(long long a,long long b){
    long long ans=1;
    for(;b;b>>=1){
        if(b&1)ans*=a%Mod;
        a=(a*a)%Mod;
    }
    return ans;
}
int main(){
    long long n,m;
    scanf("%lld %lld %lld",&n,&m,&Mod);
    printf("%lld^%lld mod %lld=",n,m,Mod);
    printf("%lld
",Pow(n,m)%Mod);
    return 0;
}

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
long long Mod=1000;
long long Pow(long long a,long long b){
    long long ans=1;
    for(;b;b>>=1){
        if(b&1)ans=ans*a%Mod;
        a=(a*a)%Mod;
    }
    return ans;
}
int main(){
    long long n,m;
    scanf("%lld %lld %lld",&n,&m,&Mod);
    printf("%lld^%lld mod %lld=",n,m,Mod);
    printf("%lld
",Pow(n,m)%Mod);
    return 0;
}

显然第一个代码是错的，错在ans*=a%Mod这边，如果这么用的话，ans并没有取Mod，只对了a取Mod，这样会有什么后果呢？当ans过大的时候他就会溢出。（可能你们不会犯这样的错误但我就是智障的写成了第一个~~）

整数快速幂的原理大家都很清楚就不说了，应用的话。。。是个人应该都知道怎么用吧。

二、矩阵快速幂

　　题目描述

　　　　给定n×n的矩阵A，求A^k

　　输入格式

　　　　第一行两个整数n，k接下来n行每行n个数，表示A_ij

　　输出格式

　　　　输出 矩阵A^k

　　　　每个元素对10⁹+7取mod

　　说明/提示

　　　  对于 $100\%$ 的数据：$1\le n\le 100$，0 le k le 10^{12}0≤k≤10¹²
, $|A^{}|\le 1000$

 

　　　　

/*
看了题面很简单，事实上他的确很简单

　　　　如果你看明白了整数的快速幂，这个就很简单了，对k二进制分解，不断舍弃最低位直到k为0，如果它的最低位1就累加答案。

　　　　记得×的时候单独开一个数组保存结果！！！！不然数组会不断累×。
*/
#include <cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
const int N=110,Mod=1e9+7;
ll a[N][N],ans[N][N],n,k;//数据mod1e9为什么还要longlong？
void Mul(){
    ll temp[N][N];
    memset(temp,0,sizeof(temp));
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            for(int k=1;k<=n;k++)
                temp[i][j]=(temp[i][j]+ans[i][k]*a[k][j]%Mod)%Mod;
    //如果没用long long乘法要强转long long不然比如1e9*1e9肯定会超int
    memcpy(ans,temp,sizeof(temp));
}
void Mulself(){
    ll temp[N][N];
    memset(temp,0,sizeof(temp));
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            for(int k=1;k<=n;k++)
                temp[i][j]=(temp[i][j]+a[i][k]*a[k][j]%Mod)%Mod;
    memcpy(a,temp,sizeof(temp));
}
int main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++){
            scanf("%lld",&a[i][j]);
            ans[i][j]=a[i][j];
        }
    k--;//ans初始值为一次方，所以要求的k次方只需乘k-1次方
    for(;k;k>>=1){
        if(k&1)Mul();
        Mulself();
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++)
            printf("%lld ",ans[i][j]);
        printf("
");
    }
}