括号类问题总结 持续更新

前言

本来说今天要写写状压dp的，结果大致看了几道题，发现剩下的都不会，然后突发奇想去看了看去年的CSP-S的题，由于那会儿我只学了不到三个月吧，所以啥都不会借口，就打了40多分，惨。今天重新做了一下，D1T1，这么简单的题为什么我当时不会！其实就是一个分治，写了不到十分钟就A了。主要是想说一下T2，T3仍然不会逃，T2应该算是一个很经典的问题了，括号配对，只不过这个题是挪到了树上，用一个有辅助的树形dp就能解决，这个括号类的问题值得总结一下。

裸的配对

括号配对
感觉最基础的配对只要好好学过奥赛应该都会，这道题算是难一点的了。
括号配对时用要用到一个栈，为什么是栈呢？因为栈的特点是后进先出，如果遇到一个括号，那么它肯定和之前遇到的最近的同类型括号匹配，所以用个栈，这道题的难点是它要考虑括号的大小问题，为了解决这个问题，可以根据题意确定一下每个括号的优先级，然后先比较优先级，再进行配对。
左括号与右括号的优先级顺序应该是正好相反的，注意一下就行。
还有建议写一个函数来判断能否配对，这样比较方便return。

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=300;
char stk[N],str[N];
int top;
int ch(char x){
    if(x=='<')return 1;
    if(x=='(')return 2;
    if(x=='[')return 3;
    if(x=='{')return 4;
    if(x=='}')return 5;
    if(x==']')return 6;
    if(x==')')return 7;
    if(x=='>')return 8;
}
void judge(){
    top=0;
    int l=strlen(str+1);
    for(int i=1;i<=l;i++){
        if(ch(str[i])<=4){
            if(!top||ch(str[i])<=ch(stk[top]))
                stk[++top]=str[i];
            else {
                printf("NO
");
                return ;
            }
        }else {
            if(!top||ch(str[i])+ch(stk[top])!=9){
                printf("NO
");
                return;
            }
            top--;
        }
    }
    if(top)printf("NO
");
    else printf("YES
");
}
int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%s",str+1);
        judge();
    }
}

稍作变形

然后其实D1T2的括号树就是由最基本的原型拓展来的。
先考虑链的情况，因为链最基本并且也有一部分部分分。如果设(f_u)表示从根节点到(u)的合法括号序列总数，(p_u)表示(u)的父亲，那么显然有转移方程(f_u=f_{p_u}+以u为右端点的合法括号序列数)，(f_{p_u})在dfs的时候就可以求出来，关键是后边那个怎么求，我们可以利用拆分的思想，把一条链拆成两部分，开一个栈存可以被用来配对的左括号的节点编号，假设在(v)遇到一个右括号，如果栈为空，不需要任何操作，因为什么配对都做不了，如果栈不空呢？
如果它不空的话，取出栈顶元素(u)，以u为右端点的合法括号序列数就是以(p_u)为右端点的合法括号序列数+1，加的一就是括号序列(uv)，那么之前的还用考虑吗？不用，因为它已经被包含在这种情况里边了。
链的问题解决了，树上边就只需要一个回溯，因为每层dfs最多只会改变一个元素，所以最后再还原一下现场就行。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=5e5+10;
struct Edge{
    int to,nxt;
}e[N];
int h[N],idx,p[N],top,stk[N];
char str[N];
ll f[N],g[N];
void Ins(int a,int b){
    e[idx].to=b;e[idx].nxt=h[a];h[a]=idx++;
}
void dfs(int u){
    if(str[u]=='('){
        stk[++top]=u;
        f[u]=f[p[u]];
        for(int i=h[u];~i;i=e[i].nxt)dfs(e[i].to);
        top--;
    }else {
        if(!top){
            f[u]=f[p[u]];
            for(int i=h[u];~i;i=e[i].nxt)
                dfs(e[i].to);
        }else {
            int now=stk[top--];
            g[u]=g[p[now]]+1;
            f[u]=f[p[u]]+g[u];
            for(int i=h[u];~i;i=e[i].nxt)
                dfs(e[i].to);
            stk[++top]=now;
        }
    }
}
int main(){
    int n;
    memset(h,-1,sizeof(h));
    scanf("%d%s",&n,str+1);
    for(int i=2;i<=n;i++){
        scanf("%d",&p[i]);
        Ins(p[i],i);
    }
    dfs(1);
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans^=i*f[i];
    printf("%lld
",ans);
}

从这个代码开始图论我要换码风了，Head用h代替，len用idx，别问为什么，问就是跟别的dalao学的。