How many ways?? 矩阵

分析

这个题又是特殊的最短路问题
等等再说矩阵的问题，因为这个题的范围比较小，所以。。。可以写一个计数DP来解决。
估计看一眼代码就可以明白了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
const int N=1e2+10;
int dis[N][N],to[N][N];
int main(){
	int n,m;
	while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
		if(n==0&&m==0)return 0;
		memset(to,0,sizeof(to));
		for(int i=1;i<=m;i++){
			int a,b;
			scanf("%d%d",&a,&b);
			to[a][b]=1;
		}
		int T;
		scanf("%d",&T);
		while(T--){
			int a,b,k;
			memset(dis,0,sizeof(dis));
			scanf("%d%d%d",&a,&b,&k);
			dis[0][a]=1;
			for(int x=1;x<=k;x++){
				for(int i=0;i<n;i++){
					for(int j=0;j<n;j++){
						if(to[i][j])
							dis[x][j]=(dis[x][j]+dis[x-1][i])%1000;
					}
				}
			}
			printf("%d
",dis[k][b]);
		}
	}
}

因为时间复杂度的问题，所以这个跑起来比矩阵还要快。
但是如果把(k)的范围调大而(n)的范围不变，这样就会T，(k)是想多大就多大的，因为点可以重复经过，所以这题又被数据坑了？
矩阵的题也写过很多次了，敏感的话可以直接写出答案就是(A^k)这个矩阵中对应的点的值。
可以这么考虑，如果有(dis[i][k]=a,dis[k][j]=b,i->k,k->j)均只走了一步，那么根据分步乘法，走两步时(dis[i][j]+=dis[i][k]×dis[k][j])，正好满足矩阵运算的规则。
之前一直没有证明矩阵快速幂的正确性，要证明这个，只需要证明它满足结合律就行。

首先我们证明

设 为 的矩阵，

则

所以 ，即

现在进行归纳证明，假设在 时对 个矩阵相乘满足结合律，证明在 时也满足结合律

我们现在试图证明对任意顺序做乘法的 ，都与 相等

考虑任意顺序做乘法的矩阵，找到最后一次相乘的乘号（即没有被任何一个括号包含的乘号），考虑这个乘号两边的矩阵，不妨设左边共有 个矩阵，右边共有 个矩阵，那么由于 0"> ，所以 ，所以根据归纳假设，左边可以写成 ，右边可以写成

然后，因为我们知道了 满足结合律，我们可以将 写成 的形式，然后一层一层将右侧的括号拆掉即可

所以任意顺序相乘的 都相等，等于

现在证明出了对于 时结合律也成立，所以对任意 ， 个矩阵相乘符合结合律。

证毕。

我相信现在你对矩阵快速幂已经熟能生巧了