动态规划——背包问题python实现（01背包、完全背包、多重背包）

参考：

背包九讲——哔哩哔哩

背包九讲

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目录

• 二维动态规划
• 一维动态优化
• 确定体积的情况

01背包问题

描述：

有N件物品和一个容量为V的背包。

第i件物品的体积是vi，价值是wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包流量，且总价值最大。

二维动态规划

f[i][j] 表示只看前i个物品，总体积是j的情况下，总价值最大是多少。 result = max(f[n][0~V]) f[i][j]:

• 不选第i个物品：f[i][j] = f[i-1][j];

• 选第i个物品：f[i][j] = f[i-1][j-v[i]] + w[i]（v[i]是第i个物品的体积） 两者之间取最大。 初始化：f[0][0] = 0 （啥都不选的情况，不管容量是多少，都是0？）

代码如下：

n, v = map(int, input().split())
goods = []
for i in range(n):
    goods.append([int(i) for i in input().split()])

# 初始化，先全部赋值为0，这样至少体积为0或者不选任何物品的时候是满足要求  
dp = [[0 for i in range(v+1)] for j in range(n+1)]

for i in range(1, n+1):
    for j in range(1,v+1):
        dp[i][j] = dp[i-1][j]  # 第i个物品不选
        if j>=goods[i-1][0]:# 判断背包容量是不是大于第i件物品的体积
            # 在选和不选的情况中选出最大值
            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-goods[i-1][0]]+goods[i-1][1])


print(dp[-1][-1])

一维动态优化

从上面二维的情况来看，f[i] 只与f[i-1]相关，因此只用使用一个一维数组[0~v]来存储前一个状态。那么如何来实现呢？

第一个问题：状态转移

假设dp数组存储了上一个状态，那么应该有：

dp[i] = max(dp[i] , dp[i-v[i]]+w[i])

max函数里面的dp[i]代表的是上一个状态的值。

第二个问题：初始化

这里开始初始化一个长度为V+1一维数组，选取0个物品时，体积为0~V时的最大价值（值全部为0）。

第三个问题：递推关系

试想一下，我要保证求取第i个状态时，用到一维数组中的值是第i-1个状态的。如果，我从前往后推，那么当我遍历到后面时，我用到的状态就是第i个状态而不是第i-1个状态。比如：

dp[i] = max(dp[i] , dp[i-v[i]]+w[i])

这里的dp[i-v[i]]是已经重新赋值的，而不是上一个状态的值，所以这样是错误的。因此，我们要从后往前推。

n, v = map(int, input().split())
goods = []
for i in range(n):
    goods.append([int(i) for i in input().split()])

dp = [0 for i in range(v+1)]

for i in range(n):
    for j in range(v,-1,-1): # 从后往前
        if j >= goods[i][0]:
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-goods[i][0]] + goods[i][1])

print(dp[-1])

确定体积的情况

如果我要求的不是尽可能最大的价值，而是刚好等于背包容量的最大价值，那么该如何去做呢？

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完全背包问题

完全背包问题

描述：

有N件物品和一个容量为V的背包，每件物品都有无限个！。

第i件物品的体积是vi，价值是wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包流量，且总价值最大。

一维动态规划

完全背包问题跟01背包问题最大的区别就是每一个物品可以选无数次，因此当我们考虑到第i个物品时，我们应该考虑的情况是：不选这个物品、选一次这个物品、选两次这个物品......，直到不能再选（选的次数k，k*v[i] > j，j为当前背包容量），然后再从这些情况中选最大的。代码如下：

n, v = map(int, input().split())
goods = []
for i in range(n):
    goods.append([int(i) for i in input().split()])
dp = [0 for i in range(v+1)]
for i in range(n):
    for j in range(v,-1,-1): # 从后往前
        k = j//goods[i][0]  # 能选多少次
        # 从这些次里面取最大
        dp[j] = max([dp[j- x* goods[i][0]] + x * goods[i][1] for x in range(k+1)])

print(dp[-1])

一维动态规划（优化）

刚刚那个问题，我们是延续01背包的问题，从后往前递推。但是对于这个问题，其实可以通过从前往后递推。如何理解呢？

假设在考虑第i个物品时的两个状态：

A：dp[k*v[i] + x]

B：dp[(k-1)*v[i] + x]

根据前面的归纳，从前一个状态递推过来：

• 要求A的值，应该要从k+1个状态中选出最大的：

  dp[x] + k*w[i]
  dp[v[i] + x] + (k-1)*w[i]
  dp[2*v[i] + x] + (k-2)*w[i]
  ...
  ...
  dp[(k-1)*v[i] + x] + w[i]
  dp[k*v[i] + x
  

• 要求B的值，应该要从k个状态中选出最大的：

  dp[x] + (k-1)*w[i]
  dp[v[i] + x] + (k-2)*w[i]
  dp[2*v[i] + x] + (k-3)*w[i]
  ...
  ...
  dp[(k-2)*v[i] + x] + w[i]
  dp[(k-1)*v[i] + x
  

我们可以看到，一一对应过来的话，这两个状态实际上只差一个w[i]的值。因此：

一方面我们可以根据前一个状态（i-1）推出此时的状态，另一方面由于当前状态前面的值也是当前问题的子问题，因此我们也可以从前面的值推到后面的值。

从前往后递推的代码如下：

n, v = map(int, input().split())
goods = []
for i in range(n):
    goods.append([int(i) for i in input().split()])
dp = [0 for i in range(v+1)]
for i in range(n):
    for j in range(v+1):
        if j >= goods[i][0]:
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-goods[i][0]] + goods[i][1])

print(dp[-1])

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多重背包问题

多重背包问题

描述：

有N件物品和一个容量为V的背包。

第i件物品的体积是vi，价值是wi，数量是si。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包流量，且总价值最大。

一维动态规划

其实跟上面的完全背包问题类似，只不过我们从后往前递推的时候，物体i选取的次数应该要重新考虑下：

k = min(s[i], j//v[i]), j为当前的背包容量

代码如下：

n,v = map(int, input().split())
goods = []
for i in range(n):
    goods.append([int(i) for i in input().split()])

dp = [0 for i in range(v+1)]

for i in range(n):
    for j in range(v, -1, -1):
        # 考虑两种情况的最小值
        k = min(j//goods[i][0], goods[i][2])
        dp[j] = max([dp[j-x*goods[i][0]] + x*goods[i][1] for x in range(k+1)])

print(dp[-1])

一维动态规划（转换01背包）

想法很简单，直接把背包中的物品展开，展成很多数量为1的物品，这样就转换为01背包问题。代码如下：

n,v = map(int, input().split())
goods = []
for i in range(n):
    goods.append([int(i) for i in input().split()])

new_goods = []

# 展开
for i in range(n):
    for j in range(goods[i][2]):
        new_goods.append(goods[i][0:2])

goods = new_goods
n = len(goods)

# 01背包问题
dp = [0 for i in range(v+1)]

for i in range(n):
    for j in range(v,-1,-1):
        if j>= goods[i][0]:
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - goods[i][0]] + goods[i][1])

print(dp[-1])