因式分解技巧——轮换式与对称式

《因式分解技巧》，单墫著

先来看几个代数式：(xy), (x+y), (x^2y+xy^2), (xy+yz+xz), (x^3+y^3+z^3).
交换这些式子中的任意两个字母，式子不变。我们把这样的式子叫做对称式。

再看几个式子：(x^2y+y^2z+z^2x), (xyz), (xy^2+yz^2+zx^2).
将这些式子中的 (x) 换成 (y)， 将 (y) 换成 (z), 将 (z) 换成 (x),即将字母做一个轮换， 式子保持不变。我们将这样的式子叫做轮换式。

明显地，对称式一定是轮换式，但轮换式未必是对称式。另外，两个轮换式（对称式）的和、差、积、商仍然是轮换式（对称式）。

典型方法

• 分解因式：(x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)).
  我们可以看到这是一个关于 (x), (y), (z) 的轮换式. 不妨把这个式子看作关于 (x) 的多项式。容易看出 (y) 是多项式的一个根，于是 (x-y) 是一个因式。
  由于是轮换式， (y-z), (z-x) 也是它的因式， 从而它们的积 ((x-y)(y-z)(z-x)) 也是因式。
  原式是三次多项式，这个乘积也是三次的，因此两者最多相差一个常数因数，即

[x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)=k(x-y)(y-z)(z-x). ]

为确定 (k), 我们来比较两边 (x^y) 项的系数，易得 (k=-1). 于是就有分解

[x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)=-(x-y)(y-z)(z-x). ]

• 分解因式：(a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)).
  与上例类似可知 ((a-b)(b-c)(c-a)) 是它的因式。但原式是四次的，因此我们还缺一个一次因式。原式是轮换的，我们找到的乘积也是轮换的，所以寻求的那个一次因式也应该是轮换。同时根据两者的齐次性（无常数项），可知那个一次因式形如 (k(a+b+c))。利用之前的比较系数法，或者取特殊值法，可求得 (k=-1).
  即分解为 $$a^3(b-c)+b3(c-a)+c^3(a-b)=-(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a).$$

• 分解因式：((a+b+c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3-(a+b-c)^3).
  取 (a=0), 得原式为 (0), 于是 (a) 是一个因式。因为它是轮换式，所以 (abc) 是它的因式。原式为三次，因此现在只相差一个常数了。不妨设

[(a+b+c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3-(a+b-c)^3=kabc. ]

取 (a=b=c=1), 得 (k=24), 于是有

[(a+b+c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3-(a+b-c)^3=24abc. ]

齐次轮换式的一般形式（以三元为例）

• 一次齐次的轮换式形如：(l(x+y+z))
• 二次齐次的轮换式形如：(l(x^2+y^2+z^2)+m(xy+yz+zx))
• 三次齐次的轮换式形如：(l(x^3+y^3+z^3)+m(x^2y+y^2z+z^2x)+n(xy^2+yz^2+zx^2)+kxyz)

其中的 (l), (m), (n), (k) 是待定常数.

齐次与非齐次

• 分解因式：((x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5)
  易知其有因式 ((x-y)(y-z)(z-x)). 因为原式是五次齐次轮换式，所以还缺一个二次齐次轮换式。不妨设

[(x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5=(x-y)(y-z)(z-x)[l(x^2+y^2+z^2)+m(xy+yz+zx)]. ]

令 (x=2), (y=1), (z=0) 可得 (5l+2m=15).
令 (x=1), (y=0), (z=-1) 可得 (2l-m=15).
于是可得 (l=5), (m=-5). 这就给出了所要的因式分解.

• 分解因式：(a^5-b^5-(a-b)^5).
  记 (y-z=a), (z-x=c=-b), 则此题就变为上一例题。最后结果为

[a^5-b^5-(a-b)^5=5ab(a-b)(a^2+b^2-ab). ]

一个有用的公式

• 分解因式：(a^3+b^3+c^3-3abc).
  当 (a=-(b+c)) 时，原式为 (0), 所以原式有因式 (a+b+c). 再者，原式是三次齐次轮换式，所以我们还缺一个二次齐次轮换式因式。 不妨设

[a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)[l(a^2+b^2+c^2)+m(ab+bc+ca)]. ]

比较两边 (a^3) 的系数可得 (l=1). 比较 (abc) 的系数可得 (m=-1). 于是

[a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)[a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca]. ]

有时候我们也把它写为

[a^3+b^3+c^3-3abc=frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]. ]

推论

若 (a+b+c=0), 则 (a^3+b^3+c^3=3abc).

• 分解因式：((y-z)^3+(z-x)^3+(x-y)^3).
  利用上面的推论立即可得

[(y-z)^3+(z-x)^3+(x-y)^3=3(y-z)(z-x)(x-y). ]

焉用牛刀

• 分解因式：(x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2+3xyz).
  它如果能分解，那就有一次因式，而且还是其次轮换式。可以验证一次因式是 (x+y+z).
  不过这里我们没必要用这种方法，因为直接分解更简单一点：

egin{align*} x^2y+xy^2+xyz &=xy(x+y+z) \ y^2z+yz^2+xyz&=yz(x=y+z)\ z^2x+zx^2+xyz &=zx(x+y+z). end{align*}

所以有

[x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2+3xyz=(x+y+z)(xy+yz+zx). ]

特殊的问题可以用特殊的方法处理，并不是每道题都非得用一般的方法去对付不可。

后面两节的内容有点复杂了，实在提不起兴趣。