下面的题目来自于单墫先生的《初中数学指津——代数的魅力与技巧》。
题目1
设实数 (a), (b), (c) 满足
[frac{a}{m+2}+frac{b}{m+1}+frac{c}{m}=0,
]
且 (a> 0), (m> 0).
求证：方程 (ax^2+bx+c=0) 有一根 (x_0) 满足 (0< x_0 <1).
解答
碰到关于二次方程的（难）题目，我们可以考虑相应的二次函数，以便利用函数图象的直观性。
记 (f(x)=ax^2+bx+c). 若能说明 (f(0)) 和 (f(1)) 异号，那结论就成立了。
- 若 (c< 0), 则 (f(0)=c< 0), 并且
[frac{a+b+c}{m+1}> frac{a}{m+2}+frac{b}{m+1}+ frac{c}{m}=0,
]
即 (f(1)> 0), 于是结论成立.
- 若 (cgeq 0), 这时候需要另外想办法了，因为上面的招数现在失效了。
我们转而考虑 ((0,1)) 中的某个数 (x_1)，以求将 (x_0) 夹在 ((0, x_1)) 或 ((x_1, 1)) 之中，同时保证区间两侧的函数值异号，这样仍能得到结论。
但这个 (x_1) 怎么找呢？它肯定不能随便取。要知道我们之所以寻找新数，就是因为我们现在不能直接判断 (f(1)) 的符号。所以新数 (x_1) 的选择必须能使我们比较方便的估计出 (f(x_1))。 另外，为了利用已知条件，这个 (x_1) 最好还要依赖于 (m).
这里我们记 (x_1=dfrac{m+1}{m+2}). 于是有
[frac{m+2}{(m+1)^2}fleft(frac{m+1}{m+2}
ight)=frac{a}{m+2}+frac{b}{m+1}+frac{c(m+2)}{(m+1)^2}leq
frac{a}{m+2}+frac{b}{m+1}+ frac{c}{m}=0,]
即 (f(x_1)leq 0). 因此方程有一根 (x_0) 满足 (0<x_0leq x_1<1).
不知道有没有更简单的取法，感觉这里的技巧性太重。
题目2
设方程 (ax^2+bx+c=0) 的系数 (a), (b), (c) 都是奇数. 它的两个实数根 (x_1), (x_2) 满足
[-1< x_1 < 0,qquad 1<x_2.
]
若判别式 (b^2-4ac=5), 求 (x_1), (x_2).
解答
我们不妨设 (a) 是正数，否则将方程的系数乘以 (-1) 即可。 于是抛物线 (f(x)=ax^2+bx+c)的开口向上，根据根的分布可知 (f(0)=c< 0).
因为 (a), (b^2), (-c) 都是正奇数，且满足 (b^2+4a(-c)=5), 故有
[b=pm 1, quad a=1, quad c=-1.
]
因为 (x_2> 1), 所以 (f(1)=a+b+c< 0), (b=-1). 于是方程为
[x^2-x-1=0.
]
解得两根为 $$x_{1,2}=frac{1pm sqrt{5}}{2}.$$