下面的题目来自于单墫先生的《初中数学指津——代数的魅力与技巧》。
题目
已知 (dfrac{(a-b)(c-d)}{(b-c)(d-a)}=3), 求 (dfrac{(a-c)(b-d)}{(a-b)(c-d)}) 的值.
书中的解答
因为
[(a-c)(b-d)+(b-c)(d-a)=(c-d)(a-b),
]
所以 $$frac{(a-c)(b-d)}{(a-b)(c-d)}=1-frac{(a-b)(c-d)}{(b-c)(d-a)}=frac{2}{3}.$$
简单明了，可惜我当初没想到。
我的解答
一开始我也注意到了前面分数的分子和后面分数的分母相等，但后面的变形走错方向了，只能放弃。一怒之下，我决定暴力硬算,希望能消去一个字母。虽然最终未能如愿，但却比希望的要好，算是一种报偿吧。
根据已知等式可得
[3(ab+cd)-(ad+bc)=2(ac+bd). qquad (1)
]
再令 (dfrac{(a-c)(b-d)}{(a-b)(c-d)}=X), 于是有
[(X-1)(ad+bc)+(ac+bd)=X(ac+bd). qquad (2)
]
如果注意到 ((1)), ((2)) 括号中的代数式是一致的，那就能猜出 (X=frac{2}{3}).
为保险起见，我们验证一下：
结合 ((1)), ((2)) 我们有
[(3X-3)(ad+bc)+2(ac+bd)+(ad+bc)=3X(ac+bd),
]
化简得
[(3X-2)(a-b)(c-d)=0.
]
由已知条件可知 ((a-b)(c-d) eq 0), 所以 (X=frac{2}{3}).