一个关于三角形的边长和面积的不等式

今天在网上看到下面这个问题

对于任意三角形 (ABC), 必有 (ab+bc+cageq 4S). 这里的 (S) 表示三角形的面积.

我记得在哪见过这个不等式，但一时想不起来，自己也不会做。几何不等式这个领域我几乎都没怎么注意过，看来哪天得了解一下。到网上找了些资料，其中有一份资料里有如下的更强的结果：

对于任意三角形 (ABC), 必有 (ab+bc+cageq 4sqrt{3}S). 这里的 (S) 表示三角形的面积.

本来准备写资料中那个涉及若干三角不等式的证明的，但知乎上有网友给出了一个精彩的短证明，就先照抄一下吧：

证明一

根据面积公式 (S=frac{1}{2}absin C) 可以得到

[frac{1}{sin A}+frac{1}{sin B}+frac{1}{sin C}=frac{ab+bc+ca}{2S}.qquad (1) ]

设函数 (f(x)=dfrac{1}{sin x})，利用詹森不等式可得

[f(A)+f(B)+f(C)geq 3f(frac{A+B+C}{3})=2sqrt{3}. ]

结合上面两个式子可知命题成立.

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证明二

想了想还是把这个长证明也写一下吧，原因有二：一是这个证明更为初等，二是这个证明里有几个有趣的三角不等式. 这个证明用一系列的三角不等式绕过了证明一中的詹森不等式.

引理1： 在 ( riangle ABC) 中恒有 (sin^2 A+sin^2B+sin^2Cleq dfrac{9}{4}).

证明

egin{align*}sin^2 A+sin^2B+sin^2C &=frac{1-cos 2A}{2}+frac{1-cos 2B}{2}+frac{1-cos 2C}{2}\ &=frac{3}{2}-frac{1}{2}(cos 2A+cos 2B+cos 2C)\ &=frac{3}{2}-cos(A+B)cos(A-B)-cos^2C+frac{1}{2}\ &=2+cos Ccos(A-B)-cos^2C\ &leq 2+|cos C|+cos^2C \ &=-(|cos C|-frac{1}{2})^2+frac{9}{4}\ &leq frac{9}{4}.end{align*}

引理2：在 ( riangle ABC) 中恒有 (sin A+sin B+sin Cleq dfrac{3sqrt{3}}{2}), (sin Asin Bsin Cleq dfrac{3sqrt{3}}{8}).

证明

利用不等式 (a^2+b^2geq 2ab) 可以得到

[sin A+sin B+sin Cleq sqrt{3(sin^2 A+sin^2 B+sin^2 C)}leq frac{3sqrt{3}}{2}. qquad (2) ]

利用上面的不等式以及均值不等式又能得到

[sin Asin Bsin Cleq left(frac{sin A+sin B+sin C}{3} ight)^3leq frac{3sqrt{3}}{8}. ]

命题的证明

由引理2以及均值不等式可知

[frac{1}{sin A}+frac{1}{sin B}+frac{1}{sin C}geq 3sqrt[3]{frac{1}{sin A}frac{1}{sin B}frac{1}{sin C}}geq 2sqrt{3}. ]

接下来的步骤和证明一相同.

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为什么align* 环境编译不出来？

本文的证明二来自于《三角不等式及其应用》以及Bottemi等人编著的 Geometric inequalities.

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2015.7.25 补注：

本文出现之后知乎上又有了一个证明，它是三角不等式和柯西不等式的结合。那个证明的巧妙完全不下于证明二，这里就不抄录了。仅在下面列出其中使用的两个三角关系式，有兴趣的朋友不妨自己动手试一试：

[cos A cos B le cos^2(frac{A+B}{2}), qquad sin^2A + sin^2 B + sin^2 C = 2 + 2cos A cos B cos C. ]