Steiner-Lehmus 定理

定理

这是平面几何里一个比较著名的定理了。它来源于如下的简单命题：

等腰三角形的两底角的角平分线相等。

一般面对一个已知的命题，有两个很自然的问题会出现：（1）它的逆命题成立吗？（2）能将它进行推广吗？ Steiner-Lehmus定理就来自于（1）。

1840年数学家Lehmus询问杰出的几何学家Steiner能否给出下面命题的一个纯几何的证明，Steiner不负期望的给出了一个证明，于是就有了

（Steiner-Lehmus）一个三角形若有两条角平分线相等，则它是等腰三角形。

几个证明

证明一

这个证明我是在《几何瑰宝》的上册中看到的，它是我目前知道的证明中最简单的。

如上图所示，我们假设 (angle ABCgeq angle ACB)，于是 (angle ABOgeq angle ACO)。在 (OE) 上取点 (M) 使得 (angle OBM=angle OCD)。连接 (BM) 并延长交 (AC) 于 (N)。利用对应角相等可得

[ riangle BND sim riangle CNM. ]

因为 (CMleq CE= BD)，所以由上述相似可得 (BNgeq CN)。由此可得，在 ( riangle BCN) 中，

[angle BCN geq angle CBN=angle OBN+frac{angle ABC}{2}=frac{angle BCN}{2}+frac{angle ABC}{2}, ]

即 (angle ACBgeq angle ABC)。结合开始的假设，我们就得到 (angle ACB =angle ABC)。由此命题得证。

证明二

这个证明我是在《Charming Proofs》中看到的。它使用了下面两个简单却很有用的定理

（角平分线定理）若 (BD) 是 (angle ABC) 的平分线，则 (frac{AB}{BC}=frac{AD}{CD})。

（正弦定理）对于任意 ( riangle ABC)，我们有 (frac{AB}{sin C}=frac{AC}{sin B}=frac{BC}{sin A})。

以及正弦的二倍角公式

(sin 2alpha=2sinalphacosalpha)。

如图所示，我们记 (AB=c), (BC=a), (CA=b), (AE=v), (BE=V), (AD=u), (DC=U). 另外，设 (angle ABC=2eta), (angle ACB=2gamma), (ACB>angle ABC).

根据角平分线定理，我们有 (dfrac{U}{u}=dfrac{a}{c}), (dfrac{V}{v}=dfrac{a}{b})。于是

[frac{b}{u}-frac{c}{v}=frac{u+U}{u}-frac{v+V}{v}=frac{U}{u}-frac{V}{v}=frac{a}{c}-frac{a}{b}<0. qquad (*) ]

根据正弦定理以及正弦的二倍角公式我们有

[frac{b}{u}divfrac{c}{v}=frac{bv}{cu}=frac{sin ABC cdot v}{sin ACB cdot u}=frac{cosetasineta cdot v}{cos gammasin gamma cdot u}=frac{coseta}{cosgamma}cdotfrac{sineta}{u}cdotfrac{v}{singamma}=frac{coseta}{cosgamma}cdotfrac{sin A}{BD}cdotfrac{CE}{sin A}=frac{coseta}{cosgamma}>1. ]

上式与 ((*)) 式矛盾。若假设 (ACB <angle ABC), 同样可得矛盾。于是命题得证。

证明三

这个证明来自于《绕来绕去的向量法》。它使用了平面向量，前面提到的角平分线定理以及余弦定理，是一个直接证明。

（余弦定理）对于任意 ( riangle ABC)，我们有 (AC^2=AB^2+BC^2-2ABcdot BCcdot cos B)。（根据对称性原则还可以得到另外两个等式。）

如图所示，和之前一样，我们记 (AB=c), (AC=b), (BC=a)。利用角平分线定理我们有

[overrightarrow{BD}=frac{aoverrightarrow{BA}+coverrightarrow{BC}}{a+c}, quad overrightarrow{CE}=frac{aoverrightarrow{CA}+boverrightarrow{CB}}{a+b}. ]

因为 (BD=CE), 所以 (overrightarrow{BD}^2=overrightarrow{CE}^2)，即

[frac{2a^2c^2(1+cos B)}{(a+c)^2}=frac{2a^2b^2(1+cos C)}{(a+b)^2}. ]

整理一下即有

[frac{c^2(a+b)^2}{b^2(a+c)^2}=frac{1+cos C}{1+cos B}=frac{1+frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}{1+frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}}=frac{c(a+b-c)}{b(a+c-b)}. ]

化简之后得

[(a^3+a^2b+a^2c+3ab+b^2c+bc^2)(b-c)=0. ]

上式的第一项大于零，所以 (b=c)。命题得证。

杂谈

这个定理的证明非常多，《几何瑰宝》中就有好几个（补充：这篇博文里就写了好几个）。上面的三个是我目前觉得比较有意思的。第一个证明无论从预备知识还是证明细节角度而言都非常简单。第二个证明用了两种方法来比较两个量的大小，看着很简单，但为什么比较这两个量我到现在还是没有头绪。第三个证明最大的特点就是利用向量消去了点 (D) 和 (E)，彻底简化了图形。因为我们的目标是 (b=c)，所以余下的计算虽然有些繁杂但方向很明确。

关于这个定理，还有一个问题值得考虑：我们能不能给出它的一个纯几何的直接证明？

文中提到的三本书都是不错的数学读物，学有余力的中学生以及数学爱好者不妨读一读。