单调队列学习笔记

下面文章抄袭到 hello kity的。。原文章地址请戳这里

/*******************************hello kity********************************************/

一直弄不明白单调队列是什么，在网上也找不到易懂的介绍。最后结合别人博客上的介绍和程序看才理解是怎么回事。

我们从最简单的问题开始：

给定一个长度为N的整数数列a(i),i=0,1,...,N-1和窗长度k.

要求：

      f(i) = max{a(i-k+1),a(i-k+2),..., a(i)},i = 0,1,...,N-1

问题的另一种描述就是用一个长度为k的窗在整数数列上移动，求窗里面所包含的数的最大值。

解法一：

很直观的一种解法，那就是从数列的开头，将窗放上去，然后找到这最开始的k个数的最大值，然后窗最后移一个单元，继续找到k个数中的最大值。

这种方法每求一个f(i),都要进行k-1次的比较，复杂度为O(N*k)。

那么有没有更快一点的算法呢？

解法二：

我们知道，上一种算法有一个地方是重复比较了，就是在找当前的f(i)的时候，i的前面k-1个数其它在算f(i-1)的时候我们就比较过了。那么我们能不能保存上一次的结果呢？当然主要是i的前k-1个数中的最大值了。答案是可以，这就要用到单调递减队列。

单调递减队列是这么一个队列，它的头元素一直是队列当中的最大值，而且队列中的值是按照递减的顺序排列的。我们可以从队列的末尾插入一个元素，可以从队列的两端删除元素。

1.首先看插入元素：为了保证队列的递减性，我们在插入元素v的时候，要将队尾的元素和v比较，如果队尾的元素不大于v,则删除队尾的元素，然后继续将新的队尾的元素与v比较，直到队尾的元素大于v,这个时候我们才将v插入到队尾。

2.队尾的删除刚刚已经说了，那么队首的元素什么时候删除呢？由于我们只需要保存i的前k-1个元素中的最大值，所以当队首的元素的索引或下标小于 i-k+1的时候，就说明队首的元素对于求f(i)已经没有意义了，因为它已经不在窗里面了。所以当index[队首元素]<i-k+1时，将队首 元素删除。

从上面的介绍当中，我们知道，单调队列与队列唯一的不同就在于它不仅要保存元素的值，而且要保存元素的索引（当然在实际应用中我们可以只需要保存索引，而通过索引间接找到当前索引的值）。

为了让读者更明白一点，我举个简单的例子。

假设数列为：8，7，12，5，16，9，17，2，4，6.N=10,k=3.

那么我们构造一个长度为3的单调递减队列：

首先，那8和它的索引0放入队列中，我们用（8，0）表示，每一步插入元素时队列中的元素如下：

0：插入8，队列为：（8，0）

1：插入7，队列为：（8，0），（7，1）

2：插入12，队列为：（12，2）

3：插入5，队列为：（12，2），（5，3）

4：插入16，队列为：（16，4）

5：插入9，队列为：（16，4），（9，5）

。。。。依此类推

那么f(i)就是第i步时队列当中的首元素：8，8，12，12，16，16，。。。

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先来一道简单单调队列题

poj-3250-Bad Hair Day

题意：有N只奶牛，求每只奶牛能看到最远处奶牛的只数之和。。。

分析：纯单调递减队列

View Code 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define MAXN 80050
#define LL long long
using namespace std;
LL q[MAXN];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    LL a;
    LL ans=0;
    int rear=-1,front=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%I64d",&a);
        while(rear>=front&&q[rear]<=a)rear--;
        q[++rear]=a;
        ans+=rear;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

一道经典的单调队列 POJ-2823-Sliding Window

这题要用c++交，g++交会超时。。。。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define MAXN 1000050
using namespace std;
int q[MAXN];
int a[MAXN];
int f[MAXN];
int n,m;
void getMax(){
    int head=0,rear=-1;
    for(int i=0;i<m-1;i++){
        while(rear>=head&&q[rear]<a[i])rear--;
        q[++rear]=a[i];
        f[rear]=i;
    }
    for(int i=m-1;i<n;i++){
        while(rear>=head&&q[rear]<a[i])rear--;
        q[++rear]=a[i];
        f[rear]=i;
        while(f[head]<=i-m)head++;
        if(i==n-1){
            printf("%d",q[head]);
            continue;
        }
        printf("%d ",q[head]);
    }
}
void getMin(){
    int head=0,rear=-1;
    for(int i=0;i<m-1;i++){
        while(rear>=head&&q[rear]>a[i])rear--;
        q[++rear]=a[i];
        f[rear]=i;
    }
    for(int i=m-1;i<n;i++){
        while(rear>=head&&q[rear]>a[i])rear--;
        q[++rear]=a[i];
        f[rear]=i;
        while(f[head]<=i-m)head++;
        if(i==n-1){
            printf("%d",q[head]);
            continue;
        }
        printf("%d ",q[head]);
    }
}
int main()
{

    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    getMin();
    printf("\n");
    getMax();
    printf("\n");
    return 0;
}