SPFA单源最短路径算法

我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值，而且用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法：设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。

如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）。当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路，但这不是我们讨论的重点。

期望时间复杂度：O(me)， 其中m为所有顶点进队的平均次数，可以证明m一般小于等于2：“算法编程后实际运算情况表明m一般没有超过2n.事实上顶点入队次数m是一个不容易事先分析出来的数,但它确是一个随图的不同而略有不同的常数.所谓常数,就是与e无关,与n也无关,仅与边的权值分布有关.一旦图确定,权值确定,原点确定,m就是一个确定的常数.所以SPFA算法复杂度为O(e).证毕."（SPFA的论文）不过，这个证明是非常不严谨甚至错误的，事实上在bellman算法的论文中已有这方面的内容，所以国际上一般不承认SPFA算法。

#include<iostream>
#include<vector>
#include<deque>
using namespace std;
struct Edge
{
    int to,length;
};
bool spfa(const int &beg,//出发点
          const vector<vector<Edge> > &adjlist,//邻接表，通过传引用避免拷贝
          vector<int> &dist,//出发点到各点的最短路径长度
          vector<int> &path)//路径上到达该点的前一个点
//C++习惯上函数异常返回非零值，未异常才返回0（想想main函数），因此出现负权回路返回1！
//福利：这个函数没有调用任何全局变量，可以直接复制！
{
    const int &INF=0x7FFFFFFF,&NODE=adjlist.size();//用邻接表的大小传递顶点个数，减少参数传递
    dist.assign(NODE,INF);//初始化距离为无穷大
    path.assign(NODE,-1);//初始化路径为未知
    deque<int> que(1,beg);//（双端）处理队列
    vector<bool> flag(NODE,0);//标志数组，判断是否在队列中
    vector<int> cnt(NODE,0);//记录各点入队次数，用于判断负权回路
    dist[beg]=0;//出发点到自身路径长度为0
    ++cnt[beg];//开始计数
    flag[beg]=1;//入队
    while(!que.empty())
    {
        const int now=que.front();//当前处理的点，由于后面被删除，不可定义成常量引用
        que.pop_front();
        flag[now]=0;//将该点拿出队列
        for(int i=0; i!=adjlist[now].size(); ++i)//遍历所有与当前点有路径的点
        {
            const int &next=adjlist[now][i].to;//目标点，不妨定义成常量引用，稍稍快些
            if(dist[now]<INF&&//若距离已知（否则下面右式计算结果必爆int），且
                   //注：与运算先判断左式是否成立，若不成立则右式不会被判断
                   dist[next]>dist[now]+adjlist[now][i].length)//优于当前值
            {
                dist[next]=dist[now]+adjlist[now][i].length;//更新
                path[next]=now;//记录路径
                if(!flag[next])//若未在处理队列中
                {
                    if(++cnt[next]==NODE)return 1;//计数后出现负权回路
                    if(que.empty()||//空队列，或（或运算实现原理类似与运算）
                           dist[next]<dist[que.front()])//优先级高于队首（SLF）
                        que.push_front(next);//放在队首
                    else que.push_back(next);//否则放在队尾
                    flag[next]=1;//入队
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}
int main()
{
    int n_num,e_num,beg;//含义见下
    cout<<"输入点数、边数、出发点：";
    cin>>n_num>>e_num>>beg;
    vector<vector<Edge> > adjlist(n_num,vector<Edge>());//默认初始化邻接表
    for(int i=0,p; i!=e_num; ++i)
    {
        Edge tmp;
        cout<<"输入第"<<i+1<<"条边的起点、终点、长度：";
        cin>>p>>tmp.to>>tmp.length;
        adjlist[p].push_back(tmp);
    }
    vector<int> dist,path;//用于接收最短路径长度及路径各点
    if(spfa(beg,adjlist,dist,path))cout<<"图中存在负权回路
";
    else for(int i=0; i!=n_num; ++i)
        {
            cout<<beg<<"到"<<i<<"的最短距离为"<<dist[i]<<"，反向打印路径：";
            for(int w=i; path[w]>=0; w=path[w])
                cout<<w<<"<-";
            cout<<beg<<'
';
        }
}