LeetCode（62）：不同路径

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题目描述：

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

说明：m 和 n 的值均不超过 100。

示例 1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

解题思路：

这道题是每次可以向下走或者向右走，求到达最右下角的所有不同走法的个数。我们需要用动态规划Dynamic Programming来解，我们可以维护一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示到当前位置不同的走法的个数，然后可以得到递推式为: dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，这里为了节省空间，我们使用一维数组dp，一行一行的刷新也可以。

C++解法一：

// DP
class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<int> dp(n, 1);
        for (int i = 1; i < m; ++i) {
            for (int j = 1; j < n; ++j) {
                dp[j] += dp[j - 1]; 
            }
        }
        return dp[n - 1];
    }
};

其实还有另一种很数学的解法，参见https://blog.csdn.net/linhuanmars/article/details/22126357

实际相当于机器人总共走了m + n - 2步，其中m - 1步向下走，n - 1步向右走，那么总共不同的方法个数就相当于在步数里面m - 1和n - 1中较小的那个数的取法，实际上是一道组合数的问题。

C++解法二：

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        double num = 1, denom = 1;
        int small = m > n ? n : m;
        for (int i = 1; i <= small - 1; ++i) {
            num *= m + n - 1 - i;
            denom *= i;
        }
        return (int)(num / denom);
    }
};