乘法逆元

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一，引入

（a+b）%p = (a%p + b%p) %p

  (a - b) %p = ( a%p + b%p) %p

  (a * b) %p = ( a%p * b%p) %p

  (a / b) %p = ( a%p / b%p) %p

上式中，第四个是不成立的，即除法不存在逆元。这就让计算 (a / b) %p 变的十分复杂，

因为：① 分配律的好处：可以在大数运算时候先取余让数变小，在进行加减乘运算

② 除法的弊端 ：除法会掉精度

于是就有人想出乘法的逆元来解决这个问题。

二，

定义：若在 mod p 的情况下，对于一个整数 a，有 a*x ≡ 1 (mod p)，那么这个整数 x 即为 a 的

乘法逆元，同时 a 也为 x 的乘法逆元   （  ≡ 表示 同余；(mod p) 表示  该式子在两边都 mod p 的情况下成立）

充要条件：a 存在 mod p 的乘法逆元的充要条件是 gcd ( a , p ) = 1，即 a 与 p 互质。

应用：求取 (a / b) %p。该值 等同与 a*(b 的逆元) % p

证明：( a/b ) % p = a*(b 的逆元) % p 

即证：设 b 的逆元 为 x.，则  b*x ≡ 1 ( mod p )，则可以把 x 认为是  b 在数论上的倒数，

式子 ① ：    （a / b） %p = m

将 ① * b ：    a%p = m * b %p，

即 a ≡  m * b ( mod p )  .......式子②

将 ② * x ：    a * x  ≡ m * b * x  ( mod p )

因为：b*x ≡ 1 ( mod p )

所以：原式 = a * x  ≡ m ( mod p )

得证。

求 b 的逆元：费马小定理（p 为质数）：在竞赛通常 p 为 质数，因为 p 不为质数时容易找到余数的规律。

费马小定理：假如 a 是一个整数， p 是一个质数，那么

1，如果 a 是 p 的倍数，a^p ≡ a (mod p)

2, 如果 a 不是 p 的倍数，a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

同余式：a ≡ b (mod n) 表示 a，  b 都模 n 后的值相等

因为 乘法逆元必须满足，a p 互质，所以只需要考虑第二种情况。

由 2 可得：a * a^(p-2) ≡ 1 ( mod p )

所以 a%p * (a^(p-2) % p) = 1 %p

即 a^(p-2) % p 为 a 的逆元，其中 p-2 次方可用快速幂求解。

总结：

　　( a/b ) % p = a*(a^(p-2) % p) % p 

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水调歌头·我饮不须劝 （宋）辛弃疾

我饮不须劝，正怕酒尊空。别离亦复何恨，此别恨匆匆。头上貂蝉贵客，花外麒麟高冢，人世竟谁雄。一笑出门去，千里落花风。
孙刘辈，能使我，不为公。余发种种如是，此事付渠侬。但觉平生湖海，除了醉吟风月，此外百无功。毫发皆帝力，更乞鉴湖东。