矩阵与坐标变换

转自：https://jingyan.baidu.com/article/2c8c281dfbf3dd0009252a7b.html

http://www.fjutacm.com/Problem.jsp?pid=2566

一，在平面中，一个点绕任意点旋转θ度后的点的坐标 

假设对二维空间上任意点(x1,y1)，绕一个坐标点(x0,y0)逆时针旋转a角度后的新的坐标设为(x2, y2)，有公式：

    x2= (x1 - x0)*cos(a) - (y1 - y0)*sin(a) + x0 ;

    y2= (x1 - x0)*sin(a) + (y1 - y0)*cos(a) + y0 ;

由该公式易得，

1，当顺时针旋转时，只需要将 a 变成 -a  就可以了

2，当 a 为 90度时 ，

x2 = - ( y1 - y0 ) +x0

y2 = x1 - x0 + y0

3，当 a 为 90度时 ，

x2 =  ( y1 - y0 ) +x0

y2 = - ( x1 - x0 ) + y0

4, 当坐标轴，以向右为 x 轴正向 ，向下 轴为 y 轴 时，依然是顺时针有

x2= (x1 - x0)*cos(a) + (y1 - y0)*sin(a) + x0 ;

y2= (x1 - x0)*sin(a) - (y1 - y0)*cos(a) + y0 ;

y 都变成 -y，但是 最后加上 x0,y0 的不能改，这是旋转点的坐标，不能改，

而前面的是 改变量 ，运算时要要考虑到坐标，所以需要更改。

二 ，矩阵与坐标转换

关于上面公式的推导可以在最上面的百度链接里面看到，反正我是没去看证明，

看上去好麻烦，不过如果用矩阵去证明的话，还是比较简单的，

毕竟，矩阵创造出来就是用来解决线性代换的问题。

三大基础初等坐标变化包括

1，旋转变换:

2，伸缩变换:

3，平移变换:

其他任意初等坐标变换的都可以由这三个变换经有限次复合得到。

所以任意初等变化都可以表示成以下形式

比如绕着（a,b）顺时针旋转θ可以看成，平移（-a,-b），旋转θ，平移（a,b）这三步复合得到，即：

即 ：

所以该式展开就是上面的：

 x2= (x1 - x0)*cos(a) - (y1 - y0)*sin(a) + x0 ;

 y2= (x1 - x0)*sin(a) + (y1 - y0)*cos(a) + y0 ;     只不过是符号换了一下

再比如，以（a,b）为中心，横坐标扩大n倍,纵坐标扩大m

总结：任意初等坐标变换的实现可以用矩阵来表示。

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一个男人生前要达到什么程度的不可一世，才能避免死于无名？  ——《陈二狗的妖孽人生》