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一，01 背包问题
题目链接：2. 01背包问题 - AcWing题库
题解：
二维代码：
f [ i ][ j ] 表示只考虑到前 i 个物品，且总体积恰小于等于 j 的情况下，总价值最大是多少
递推式：
情况①：不选第 i 个物品，f [ i ][ j ] = f [ i - 1 ][ j ]
情况②：选第 i 个物品，f [ i ][ j ] = f [ i - 1 ][ j - v[i] ] + w[ i ]
f [ i ][ j ] = max(①，②)
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define N 1010
int n, m; // 物品数，背包体积
int f[N][N];
int v[N], w[N]; // 物品体积，物品价值
int max(int a, int b)
{
return a > b ? a : b;
}
int main(void)
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= m; j++)
{
f[i][j] = f[i - 1][j]; // 默认不选
if (j >= v[i]) // 如果可以选，即背包体积大于物品体积
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
}
}
printf("%d
", f[n][m]);
system("pause");
return 0;
}
解析：
f[i][j] = f[i - 1][j]; // 默认不选 if (j >= v[i]) // 如果背包体积大于物品体积 f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
上面这段代码就是从第 i-1 个物品的状态，推导第 i 个物品的状态的递推式。相较于上文 “选于不选” 的判断条件，这里省略了 “不选“ 的判断条件，并在可以选择的时候，比较选与不选各自的价值。也可以理解为：不能选的话，只能不选；可以选的话，就要看选与不选哪个价值大咯。
二维压缩为一维：01 背包的空间优化
f [ j ] 表示 如果当前考虑的是第 i 个物品，那么在总体积小于等于 j 的情况下，只考虑到前 i - 1 个物品的总价值最大是多少
递推式：从第 i-1 个物品的状态，推导出第 i 个物品的状态
情况①：不选第 i 个物品，f [ j ] = f [ j ] ，（注意，虽然这里等式左右一样，但意义不一样，等式左边代表的是只考虑到前 i 个物品，而等式右边代表的是只考虑到前 i - 1 个物品。下文会将这种从 只考虑到前 i - 1 个物品 到 只考虑到前 i 个物品 的变化叫刷新。这也是为什么第二层循环要从后往前循环的原因 ）
情况②：选第 i 个物品，f [ j ] = f[ j - v[i] ] + w[ i ]，（注意，f [ j ] 代表的是只考虑到前 i 个物品， f[ j - v[i] ] 代表的是只考虑到前 i - 1 个物品。下文会将这种从 只考虑到前 i - 1 个物品 到 只考虑到前 i 个物品 的变化叫刷新。这也是为什么第二层循环要从后往前循环的原因 ）
f [ i ][ j ] = max(①，②)
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define N 1010
int n, m; // 物品数，背包体积
int f[N];
int v[N], w[N]; // 物品体积，物品价值
int max(int a, int b)
{
return a > b ? a : b;
}
int main(void)
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = m; j >= v[i]; j--)
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
printf("%d
", f[m]);
system("pause");
return 0;
}
解析：
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
上面这段代码就是从第 i-1 个物品的状态，推导第 i 个物品的状态的递推式。因为不选是 f[ j ] = f[ j ]，没有变化，所以虽然这里没有表示出不选的代码，但实际上还是有这个含义的。再来说一下不选，f[ j - v[ i] ] + w[ i ]，问题就出在这个 f[ j - v[ i] ] 身上，因为如果我们 j 是正常的从小到大递增的话，那么 f[ j ] 肯定 还没经过刷新，但 f[ j - v[ i] ] 就一定经过刷新，所以此时 f[ j - v[ i] ] 代表的是 “只考虑到前 i 个物品”，而不是我们需要的 “只考虑到前 i - 1 个物品”。那么如何在一次 j 循环中，保证用到的 f[ j - v[ i] ] 都没有刷新过呢？只能是从后往前循环了。 ♪（＾∀＾●）
所以，内层循环从二维压缩到一维就是：
for (int j = m; j >= 0; j--)
{
f[j] = f[j]; // 不选
if(j >= v[i]) // 可以选，比较选与不选的价值
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
}
进一步优化就是：
for (int j = m; j >= v[i]; j--) f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
f[] 初始化不同引起的含义不同：
① 初始化为：f[ 0 ] = 0；f[ j ] = 0;
此时 f[ j ] 代表如果当前考虑的是第 i 个物品，那么在总体积小于等于 j 的情况下，只考虑到前 i - 1 个物品的总价值最大是多少?
注意关键词：小于等于
② 初始化为：f[ 0 ] = 0；f[ j ] = -inf;
此时 f[ j ] 代表如果当前考虑的是第 i 个物品，那么在总体积恰好等于 j 的情况下，只考虑到前 i - 1 个物品的总价值最大是多少？
注意关键词：恰好等于
③ 原因：
证 ：
如果是 ① 的情况：
1，我们可以从 f[ 0 ] = 0 ==》 f[ v[i] ] = max(f[ 0 ], w[i]) ==》 从而推导出所有 f[ j ]，j <= m
2，同样的，设有 k < m，我们也可以从 f[ k ] = 0 ==》 f[ k + v[i] ] = max(f[ k ], w[i]) ==》 从而推导出所有 f[ j ]，k <= j <= m
所以，第 2 种实际算出来的还要减去 k，才是实际物品需要占用的空间，但若存在这么两种组合，使得一种组合物品的空间少于另外一种组合物品的空间，但总价值一样且最大，则 f[ m ] 是可以由这两种状态推导出来的。
但如果是 ② 的情况，则会因为无穷小，使得 2 的情况不会发生，使得 一定是恰好等于。
④ 答案取值
如果是 ① 情况的话：f[ m ] 就是答案
如果是 ② 情况的话：需要比较所有 f[ j ]，具体原因结合 ③ 以及下面代码中给出的测试案例分析。
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define N 1010
#define inf 0x3f3f3f3f
int n, m; // 物品数，背包体积
int f[N];
int v[N], w[N]; // 物品体积，物品价值
int max(int a, int b)
{
return a > b ? a : b;
}
int main(void)
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
for (int i = 1; i <= m; i++)
f[i] = -inf;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = m; j >= 1; j--)
{
if(j >= v[i])
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
printf("%d ", f[j]);
}puts("");
}
int res = 0;
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
printf("%d
", f[i]);
res = max(res, f[i]);
}
/*
测试案例：
2 2
1 101
2 100
*/
system("pause");
return 0;
}
④ 小知识点：函数外面的全局变量是用堆保存的，而堆是全部初始化为 0 的
二，完全背包问题
三，多重背包问题
四，混合背包问题
五，二维费用的背包问题
六，分组背包问题
七，背包问题求方案数
八，求背包问题的方案
九，有依赖的背包问题
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