UVALive

给出一组正整数$x,n,r$，使得$r^2equiv x(mod: n)$，求出所有满足该等式的$r$。

假设有另一个解$r'$满足条件，则有$r^2-r'^2=kn$

因式分解，得$(r+r')(r-r')=kn$

将$n$分解成$a*b$，则有$left{egin{matrix}r+r'=xa\ r-r'=ybend{matrix} ight.$

两式相加得$2r=xa+yb$，这是一个二元线性不定方程，可用扩欧求出x的通解。

假设已经求出了$x$的通解$x=x_{0}+kDelta x$，

由于$r+r'=xa$，所以$r'=xa-r=(x_{0}+kDelta x)a-r=x_{0}a-r+k(aDelta x)$,

 设$Delta t=aDelta x$，则$r'_{0}=((x_{0}a-r)\%Delta t+Delta t)\%Delta t$为$r'$的第一个非负整数解

 因此$r'$的通解为$r'=r'_{0}+kDelta t$

枚举所有的$a,b$，将所有$r'$的可行解插入一个集合里就行了。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
ll x,n,r,ka;
set<ll> st;
void exgcd(ll a,ll b,ll& x,ll& y,ll& g) {
    if(!b)x=1,y=0,g=a;
    else exgcd(b,a%b,y,x,g),y-=x*(a/b);
}

void solve(ll a,ll b) {
    ll c=2*r,x,y,g;
    exgcd(a,b,x,y,g);
    if(c%g)return;
    x*=c/g;
    ll dx=abs(b/g);
    ll dt=dx*a;
    ll t=((a*x-r)%dt+dt)%dt;
    for(; t<n; t+=dt)st.insert(t);
}

int main() {
    while(scanf("%lld%lld%lld",&x,&n,&r)&&x) {
        st.clear();
        for(ll i=1; i*i<=n; ++i)if(n%i==0)solve(i,n/i),solve(n/i,i);
        printf("Case %lld:",++ka);
        for(ll i:st)printf(" %lld",i);
        printf("
");
    }
    return 0;
}