矩阵的幂

1.

　　

　　通过逐项计算这个递推式，可以在O（n）的时间内算出答案。对于 n 的规模过大的话效率太低。通过求出通项也不行。斐波那契数列的通项为：

　　　　

　　而用矩阵可以高效地求出第 n 项的值。

　　把斐波那契数列的递推式表示成矩阵就得到了下面的式子

　　　　

　　记这个矩阵为 A，则有

　　　　

　　因此只要求出 Aⁿ 就可以求出 F_n 了。复杂度O（log n）

//用二维vector来表示矩阵
typedef vector<int> vec;
typedef vector<vec> mat;
typedef long long ll;
const int M = 10000;

// 计算 A * B
mat mul(mat &A, mat &B) {
    mat C(A.szie(), vec(B[0].size()));
    for (int i = 0; i < A.size(); i++)
        for (int k = 0; k < B.size(); k++)
            for (int j = 0; j < B[0].size(); j++)
                C[i][j] = (C[i][j] + A[i][k] * B[k][j]) % M;
    return C;
} 

// 计算 A ^ n
mat pow(mat A, ll n) {
    mat B(A.size(), vec(A.size()));
    for (int i = 0; i < A.size(); i++)
        B[i][j] = 1;
    while (n > 0) {
        if (n & 1) B = mul(B, A);
        A = mul(A, A);
        n >>= 1;
    }
    return B;
} 

ll n;

void solve() {
    mat A(2, vec(2));
    A[0][0] = 1; A[0][1] = 1;
    A[1][0] = 1; A[1][1] = 0;
    A = pow(A, n);
    printf("%d
", A[1][0]);
}

　　更一般地，对于 m 项递推式，如果记递推式为

　　　　

　　则可以把递推式写成如下矩阵形式

　　　　

　　通过计算这个矩阵的 n 次幂，就可以在 O（m³ log n）的时间内计算出第 n 项的值。如果递推式里含有常数项则稍微复杂一些，需要变成如下形式

　　　　

　　事实上，要求 m 项递推式的第 n 项的值，可以不使用矩阵，而是使用初项的线性表示，通过快速幂在（m² log n）的时间内求出答案。

　　//没有找到资料， 如果有会补充