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  • SP34096 【DIVCNTK

    题目

    [sum_{i=1}^n sigma(i^k) ]

    我们先来设一个函数(f(i)=sigma(i^k))

    根据约数个数定理

    [f(p)=sigma(p^k)=k+1 ]

    [f(p^c)=sigma(p^{ck})=ck+1 ]

    这不就可以Min_25筛了吗

    还是先求出来一个区间内的质数个数,一个质数的贡献显然是(k+1),之后上板子就好了

    代码

    #include<algorithm>
    #include<iostream>
    #include<cstring>
    #include<cstdio>
    #include<cmath>
    #define maxn 3000005
    #define re register
    #define LL unsigned long long
    int T,tot,f[maxn];
    LL n,K,p[maxn],w[maxn],id1[maxn],id2[maxn],m,Sqr,g[maxn];
    inline LL S(LL x,int y) {
        if(x<=1||p[y]>x) return 0;
        int t=(x<=Sqr)?id1[x]:id2[n/x];
        LL ans=g[t]*(K+1)-(K+1)*(y-1);
        for(re int k=y;k<=tot&&p[k]*p[k]<=x;k++) {
            LL p1=p[k];
            for(re int e=1;p1<=x;e++,p1*=p[k])
                ans+=(S(x/p1,k+1)+((e>1)?1:0))*(K*e+1);
        }
        return ans;
    }
    int main()
    {
        scanf("%d",&T);f[1]=1;
        for(re int i=2;i<=100000;i++) {
            if(!f[i]) p[++tot]=i;
            for(re int j=1;j<=tot&&p[j]*i<=100000;j++) {
                f[p[j]*i]=1;if(i%p[j]==0) break;
            }
        }
        while(T--) {
            scanf("%llu%llu",&n,&K);Sqr=std::sqrt(n)+1;m=0;
            for(re LL l=1,r;l<=n;l=r+1) {
                r=n/(n/l);w[++m]=n/l;
                if(w[m]<=Sqr) id1[w[m]]=m;
                    else id2[n/w[m]]=m;
                g[m]=w[m]-1;
            }
            for(re int j=1;j<=tot&&p[j]*p[j]<=n;j++) 
                for(re int i=1;i<=m&&p[j]*p[j]<=w[i];i++) {
                    int k=(w[i]/p[j]<=Sqr)?id1[w[i]/p[j]]:id2[n/(w[i]/p[j])];
                    g[i]=g[i]-g[k]+j-1;
                }
            printf("%llu
    ",S(n,1)+1);
        }
        return 0;
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/asuldb/p/10373074.html
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