求
[sum_{i=0}^nsum_{j=0}^iS_2(i,j)2^jj!
]
(S_2(i,j))为第二类斯特林数
这什么神仙操作，这种东西能求？
慢慢来做
首先想到二类斯特林的组合意义，就是把(i)个球放到(j)个盒子里且不允许有空
我们容斥一波，发现
[S_2(i,j)=frac{1}{j!}sum_{k=0}(-1)^kinom{j}{k}(j-k)^i
]
这个的意思就是强行枚举有(k)个盒子什么都不能选，这样就是组合数(inom{j}{k})，之后剩下的(i)个小球每个都会有(j-k)种选择，就是((j-k)^i)，这样算出来的是至少有(k)个空盒子的方案，我们容斥一下就有了那个容斥系数
至于为什么容斥系数是((-1)^k)
让我们来证明一下
上面那个柿子的含义显然是至少有(k)个空盒子，那么我们来考虑一下如果有(n)个空盒子会被算到多少次
显然是
[sum_{i=0}^ninom{n}{i}(-1)^i
]
显然在(n>=1)的情况下我们可以直接使用二项式定理把这个柿子改写成((1-1)^n=0)，在(n=0)的时候这个柿子的值却是(1)
但是我们组合数是使盒子产生了差别，于是外面除以(j!)消除这个差别
还发现(j>i)的时候，(S_2(i,j)=0)，我们可以考虑把(j)的上标改写成(n)
于是我们可以把柿子写成
[sum_{i=0}^nsum_{j=0}^nsum_{k=0}^jfrac{1}{j!}(-1)^kinom{j}{k}(j-k)^i2^jj!
]
我们优先展开组合数
[sum_{i=0}^nsum_{j=0}^n2^jj!sum_{k=0}^jfrac{(-1)^kj!(j-k)^i}{j!(j-k)!k!}
]
发现分子分母都有(j!)，于是约去
[sum_{i=0}^nsum_{j=0}^n2^jj!sum_{k=0}^jfrac{(-1)^k}{k!} imes frac{(j-k)^i}{(j-k)!}
]
发现里面开始有点像卷积的形式了，开始喜闻乐见交换求和符号
[sum_{j=0}^n2^jj!sum_{k=0}^jfrac{(-1)^k}{k!}sum_{i=0}^nfrac{(j-k)^i}{(j-k)!}
]
(k+j-k)可是等于(j)的我们终于看到卷积形式了
于是搞两个多项式
[F_i=frac{(-1)^i}{i!},G_i=frac{sum_{j=0}^ni^j}{i!}=frac{frac{i^{n+1}-1}{i-1}}{i!}=frac{i^{n+1}-1}{i!(i-1)}
]
这两个多项式一卷就是答案了
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define re register
#define LL long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
const int maxn=262144+10005;
inline int read() {
char c=getchar();int x=0;while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x;
}
int n,len,rev[maxn];
LL inv[maxn],fac[maxn],A[maxn],B[maxn];
const LL G[2]={3,332748118};
const LL mod=998244353;
inline LL quick(LL a,LL b) {LL S=1;while(b) {if(b&1) S=S*a%mod;b>>=1;a=a*a%mod;}return S;}
inline void NTT(LL *f,int o) {
for(re int i=0;i<len;i++) if(i<rev[i]) std::swap(f[i],f[rev[i]]);
for(re int i=2;i<=len;i<<=1) {
int ln=i>>1;LL og1=quick(G[o],(mod-1)/i);
for(re int l=0;l<len;l+=i) {
LL t,og=1;
for(re int x=l;x<l+ln;x++) {
t=(f[ln+x]*og)%mod;
f[ln+x]=(f[x]-t+mod)%mod;
f[x]=(f[x]+t)%mod;
og=(og*og1)%mod;
}
}
}
if(!o) return;
LL Inv=quick(len,mod-2);
for(re int i=0;i<len;i++) f[i]=(f[i]*Inv)%mod;
}
int main() {
n=read();
fac[0]=1;
for(re int i=1;i<=n;i++) fac[i]=(fac[i-1]*(LL)i)%mod;
inv[n]=quick(fac[n],mod-2);
for(re int i=n-1;i>=0;--i) inv[i]=(inv[i+1]*(LL)(i+1))%mod;
for(re int i=0;i<=n;i++) if(i&1) A[i]=mod-inv[i];else A[i]=inv[i];
B[0]=1,B[1]=n+1;
for(re int i=2;i<=n;i++)
B[i]=(quick(i,n+1)-1)*inv[i]%mod*quick(i-1,mod-2);
len=1;
while(len<n+n) len<<=1;
for(re int i=0;i<len;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)?len>>1:0);
NTT(A,0),NTT(B,0);
for(re int i=0;i<len;i++) A[i]=(A[i]*B[i])%mod;
NTT(A,1);
LL ans=0,pow=1;
for(re int i=0;i<=n;i++) {
ans+=A[i]*fac[i]%mod*pow%mod;
ans%=mod,pow=(pow*2ll)%mod;
}
printf("%lld
",ans);
return 0;
}