FWT背板笔记

板子

背板子.jpg

(Fwt)用于解决这样的问题

[C_i=sum_{jigoplus k=i}A_j imes B_k ]

其中(igoplus)是一种二元运算符，如(or,and,xor)

首先我们直接做复杂度显然高达(4^n)，或许可以利用一些枚举子集的技术做到(3^n)，但是还是非常难以接受

于是我们考虑能否像(fft)那样构造出一种变换(tf)，使得(tf(C)=tf(A)*tf(B))（这里是逐位相乘），同时快速完成这个变换以及逆变换呢

下面以(or)卷积为例

我们设(tf(A)(i)=sum_{j|i=i}A_j)

发现这个(j|i=i)就是说(j)是(i)的子集啊

于是

[tf(A)(i)*tf(B)(i)=sum_{j|i=i}A_j imes sum_{k|i=i}B_k ]

既然(j,k)都是(i)的子集，那么(j|k)显然也是(i)的子集，设(t=j|k)

于是

[tf(A)(i)*tf(B)(i)=sum_{(k|j)|i=i}A_j imes B_k=sum_{t|i=i}C_t=tf(C)(i) ]

我们发现如果这样构造(tf)，我们是可以得到(tf(A)*tf(B)=tf(C))这样的性质的，于是就可以像(fft)那样直接逐位相乘之后逆变换了

考虑如何进行变换

变换如下

[tf(A)=egin{cases}(tf(A_0),tf(A_0+A_1)) & ngt0 \ A & n=0end{cases} ]

(A_0)是(A)的前(2^{n-1})项组成的多项式，(A_1)是后(2^{n-1})项组成的多项式

在(n=0)的时候，(tf(A)=A)成立这非常显然啊

考虑一下(n>0)的情况

那个((tf(A_0),tf(A_0+A_1)))就是把两个(2^{n-1})的多项式连接起来的意思

我们对于(tf(A))的前(2^{n-1})项，就是(A_0)的变换，跟(A_1)没有什么关系，因为这前(2^{n-1})项第(n)位都是(0)，不可能跟后(2^{n-1})项第(n)位都是(1)产生关系

考虑后(2^{n-1})项，根据一个非常感性的理解，后(2^{n-1})项的第(n)位都是(1)，我们构造出多项式(A_0+A_1)，只看后面的(n-1)位自然是满足我们的(tf)的规则的，就是(j)是(i)的子集，又由于(i)的第一位是(1)，所以(j)的第一位是(0)是(1)都可以，所以我们直接用(A_0+A_1)就好了

类似的，我们也可以推出逆变换

[itf(A)=egin{cases}(itf(A_0),itf(A_0-A_1)) & ngt0 \ A & n=0end{cases} ]

于是我们就可以写出(or)卷积的代码

inline void Fwtor(LL *f,int o) {
	for(re int i=2;i<=len;i<<=1)
		for(re int ln=i>>1,l=0;l<len;l+=i)
			for(re int x=l;x<l+ln;++x)
				f[ln+x]+=o*f[x];
}

(and)卷积和(or)卷积类似

我们设变换(tf(A)(i)=sum_{j&i=i}A_j)

发现(j&i=i)就是说(j)是(i)的超集

我们也能相应写出变换

[tf(A)=egin{cases}(tf(A_0+A_1),tf(A_1)) & ngt0 \ A & n=0end{cases} ]

以及逆变换

[itf(A)=egin{cases}(itf(A_0-A_1),itf(A_1)) & ngt0 \ A & n=0end{cases} ]

以及代码

inline void Fwtand(LL *f,int o) {
	for(re int i=2;i<=len;i<<=1)
		for(re int ln=i>>1,l=0;l<len;l+=i)
			for(re int x=l;x<l+ln;++x)
				f[x]+=o*f[ln+x];
}

(xor)卷积就有些不一样了呀

首先我不是很知道这个变换的实际含义是什么

据fuge说是曼哈顿距离转切比雪夫距离

我们直接摆结论

[tf(A)=egin{cases}(tf(A_0+A_1),tf(A_0-A_1)) & ngt0 \ A & n=0end{cases} ]

尝试证明一下？对不起我咕了，挂一个yyb跑路了

板子还是放上来吧

inline void Fwtxor(LL *f,int o) {
	LL Inv;
	if(o==1) Inv=1;else Inv=ksm(2,mod-2);
	for(re int i=2;i<=len;i<<=1)
		for(re int ln=i>>1,l=0;l<len;l+=i)
			for(re int x=l;x<l+ln;++x) {
				LL g=f[x],h=f[ln+x];
				f[x]=(g+h)%mod,f[ln+x]=(g-h+mod)%mod;
				f[x]=(f[x]*Inv)%mod;f[ln+x]=(f[ln+x]*Inv)%mod;
			}
}

最后挂一个完整的板子吧

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define re register
#define LL long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
const int maxn=(1<<17)+6;
inline int read() {
	char c=getchar();int x=0;while(c<'0'||x>'9') c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x;
}
const int mod=998244353;
int n,len;
LL A[maxn],B[maxn],a[maxn],b[maxn];
inline void Fwtor(LL *f,int o) {
	for(re int i=2;i<=len;i<<=1) 
		for(re int ln=i>>1,l=0;l<len;l+=i)	
			for(re int x=l;x<l+ln;++x)
				f[x+ln]+=f[x]*o,f[x+ln]=(f[x+ln]+mod)%mod;
}
inline void Fwtand(LL *f,int o) {
	for(re int i=2;i<=len;i<<=1) 
		for(re int ln=i>>1,l=0;l<len;l+=i)
			for(re int x=l;x<l+ln;++x)
				f[x]+=f[x+ln]*o,f[x]=(f[x]+mod)%mod;
}
inline void Fwtxor(LL *f,int o) {
	int Inv;
	if(o==1) Inv=1;else Inv=499122177;
	for(re int i=2;i<=len;i<<=1) 
		for(re int ln=i>>1,l=0;l<len;l+=i) 
			for(re int x=l;x<l+ln;++x) {
				int g=f[x],h=f[x+ln];
				f[x]=(g+h)%mod;f[ln+x]=(g-h+mod)%mod;
				f[x]=1ll*f[x]*Inv%mod;f[x+ln]=1ll*f[x+ln]*Inv%mod;
			}
}
int main() {
	n=read();len=(1<<n);
	for(re int i=0;i<len;i++) a[i]=A[i]=read();
	for(re int i=0;i<len;i++) b[i]=B[i]=read();
	Fwtor(A,1),Fwtor(B,1);
	for(re int i=0;i<len;i++) A[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod;
	Fwtor(A,-1);
	for(re int i=0;i<len;i++) printf("%lld ",A[i]);puts("");
	for(re int i=0;i<len;i++) A[i]=a[i];
	for(re int i=0;i<len;i++) B[i]=b[i];
	Fwtand(A,1),Fwtand(B,1);
	for(re int i=0;i<len;i++) A[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod;
	Fwtand(A,-1);
	for(re int i=0;i<len;i++) printf("%lld ",A[i]);puts("");
	for(re int i=0;i<len;i++) A[i]=a[i];
	for(re int i=0;i<len;i++) B[i]=b[i];
	Fwtxor(A,1),Fwtxor(B,1);
	for(re int i=0;i<len;i++) A[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod;
	Fwtxor(A,-1);
	for(re int i=0;i<len;i++) printf("%lld ",A[i]);puts("");
	return 0;
}