首先看到这个出现长度至少为(2)的回文子串
这就等价于不能出现两个连续且相同的字符
于是我们用概率生成函数来搞
设(g_i)表示(i)次操作后游戏没有结束的概率，(f_{i,j})表示(i)次操作之后出现最后两个字符都是(j)的概率，这样的话游戏就结束了
再定义(f_i=sum_{j=1}^nf_{i,j})
我们要求的东西显然就是(F'(1))，即期望长度
那个非常有用的(g_i=g_{i+1}+f_{i+1})还是成立的
于是
[xG(x)+1=F(x)+G(x)
]
代入(x=1)，并两边求导
[G(1)=F'(1)
]
显然对于任意的(F_i(x))都会存在
[G(x)p_i^2x^2=F_i(x)p_ix+F_i(x)
]
就是往一个非结束状态后面强塞两个字符(i)，代入(x=1)就有
[G(1)p_i^2=F_i(1)(1+p_i)
]
[F_i(1)=frac{p_i^2}{1+p_i}G(1)
]
又因为(sum_{i=1}^nF_i(1)=1)，于是(sum_{i=1}^nfrac{p_i^2}{1+p_i}G(1)=1)，于是答案就是
[frac{1}{sum_{i=1}^nfrac{p_i^2}{1+p_i}}
]
之后发现(nleq 10^7)，带(log)求逆元显然不是很可行了
于是离线求一下逆元就可以了，就像十二省联考里的D2T3那样就好了
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define re register
const int mod=998244353;
const int maxn=1e7+5;
int n,ans;unsigned int seed;
int fac[maxn],p[maxn];
inline int Rand() {
seed=(seed<<2)^(seed>>5)^(seed<<7)^(seed>>11);return seed%mod;
}
inline int ksm(int a,int b) {
int S=1;
for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod) if(b&1) S=1ll*S*a%mod;
return S;
}
inline void Generate() {
scanf("%d%u",&n,&seed);
int sum=0;
for(re int i=1;i<n;++i)
p[i]=Rand(),sum=(sum+p[i])%mod;
p[n]=(mod+1-sum)%mod;
}
int main() {
Generate();fac[0]=1;
for(re int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*(p[i]+1)%mod;
int Inv=ksm(fac[n],mod-2),inv;
for(re int i=n;i;i--) {
inv=1ll*Inv*fac[i-1]%mod;
ans=(ans+1ll*p[i]*p[i]%mod*inv%mod)%mod;
Inv=1ll*Inv*(p[i]+1)%mod;
}
printf("%d
",ksm(ans,mod-2));
return 0;
}