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  • 显然记不住又必须记但还是记不住于是只能抄下来的结论

    1.多项式暴力操作

    多项式求逆:给定(F(x)),求(G(x))使得(G(x)F(x)=1)

    [g_i=-frac{1}{f_0}sum_{j=0}^{i-1}g_j imes f_{i-j} ]

    其中(g_0=frac{1}{f_0})

    多项式(ln):给定(F(x)),保证(f_0=1),求(G(x)=ln F(x))

    [g_i=f_i-sum_{j=0}^{i-1}j imes g_j imes f_{i-j} ]

    其中(g_0=0)

    多项式(exp):给定(F(x)),保证(f_0=0),求(G(x)= e^{F(x)})

    [g_i=frac{1}{i}sum_{j=1}^i j imes f_j imes g_{i-j} ]

    其中(g_0=1)

    2.范德蒙德行列式

    [left |egin{array}{cccc} 1 &1 & ... &1 \ x_1 &x_2 &...&x_n \ vdots & vdots & &vdots\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} &...&x_n^{n-1} \ end{array} ight| ]

    第一行可以视为(x_1,x_2...x_n)(0)次幂,这样的行列式的值为

    [prod_{1leq i<jleq n}(x_j-x_i) ]

    3.一些组合恒等式

    [sum_{sum_{i=1}^m x_i =n}prod_{i=1}^minom{x_i}{k_i}=inom{n+m-1}{m-1+sum_{i=1}^mk_i} ]

    [sum_{i=0}^{min(n,m)}inom{n}{i}inom{m}{i}=sum_{i=0}^{min(n,m)}inom{n}{i}inom{m}{m-i}=inom{n+m}{m} ]

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