红黑树

AVL-tree、RB-tree、AA-tree均可以实现平衡的二叉查找树，虽然相对于一般的二叉搜索树其插入、删除节点的平均时间会比较长，但它们可以避免极验证应付的最坏的情况--树高度不平衡。

平衡二叉查找树所谓的平衡并不是绝对的平衡，而是要求任何一个节点的左右子树高度相差不会超过1，此时仍能够保证树的“对数深度”。

在学习红黑树之前要先学习AVL树，了解一些旋转操作是怎么进行的。

 

如上图所示，X节点本来是平衡的，插入一个新节点后“平衡被破坏”了，这可以分为4种情况：

1. 插入节点位于X的左子节点的左子树--左左；
2. 插入节点位于X的左子节点的右子树--左右；
3. 插入节点位于X的右子节点的左子树--右左；
4. 插入节点位于X的右子节点的右子树--右右。

情况1、4彼此对称，称为外侧插入，可以采用单旋操作调整解决；情况2、3彼此对称，称为内侧插入，可以采用双旋转操作调整解决。

单旋转

插入新节点11出现情况1的调整策略：把中k1作为其左子孩子k2的右孩子，而k2原先的右孩子作为现在k1的左孩子。

出现情况4的调整策略类同。

双旋转

 

插入新节点15出现情况2的调整策略：先让k2和k1做一次单旋转，再让k2和k3做一次单旋转。

出现情况3的调整策略类同。

红黑树RB-tree

C++中的set和map底层用的就是红黑树。

RB-tree是满足以下4个条件的二叉查找树：

1. 每个节点不是红色就是黑色
2. 根节点为黑色
3. 红节点的子节点必须是黑色
4. 任一节点至NULL（树尾端）的每一条路径上，所含黑节点的数目必须相同

红黑树并不要求左右子树高度差控制在1以内，它的平衡条件比AVL树弱。然而红黑树通常能够导致良好的平衡状态，经验告诉我们，红黑树的平均搜索效率和AV-tree几乎相等，但是其插入节点的开销相对较低，实践中发生旋转的次数相对较少。

以下所有操作，在新插入节点后，首先将新节点设为红色。

按照二叉查找树的规则插入新节点后，如果新增节点的父节点为黑，则直接插入。否则分为4种情况（在此作一些符号约定，新增节点为X，其父节点为P，祖父节点为G，伯父节点为S，曾祖父节点为GG）：

1. S为黑，且X为外侧插入。P，G做一次单旋转，并更改P，G的颜色。
2. S为黑，且X为内侧插入。 X，P做一次单旋转，并更改X和P的颜色。再对X，G做一次单旋转。
3. S为红，且X为外侧插入。 P，G做一次单旋转，并更改X的颜色。此时如果GG为黑，一切搞定；否则，还得继续往上做，直到不再有父子节点连续为红的情况。
4.  S为红，且X为内侧插入。直接更改P，S，G的颜色。此时如果GG为黑，一切搞定；否则，还得继续往上做，直到不再有父子节点连续为红的情况。

为了避免上述情况3、4中GG也为红的情况发生，我们设计一个“自顶向下”的红黑树。假设新增节点为A，那么就延着从根节点到A的路径，只要看到某个节点X的两个子节点皆为红色，就把这两个子节点改为黑色，同时把X改为红色。但是如果此时X的父节点也是红色（注意此时X的伯父节点已经不可能是红色），就像上述情况1那样作一次单旋转改变颜色，或像情况2那样做一些双旋转再改变颜色。