自然幂数和

[sum_{i=1}^ni^k ]

1. 递推

   令其为(f(n,k))

   [(i+1)^{k+1}-i^{k+1}=C_{k+1}^1i^k+C_{k+1}^2i^{k-1}+…+C_{k+1}^ki+1 ]

   相加得

   [(n+1)^{k+1}-1=C_{k+1}^1sum_{i=0}^ni^k+C_{k+1}^2sum_{i=0}^ni^{k-1}+…+C_{k+1}^ksum_{i=0}^ni+n ]
   [f(n,k)=frac1{k+1}((n+1)^{k+1}-sum_{i=2}^{k+1}C_{k+1}^if(n,k+1-i)-1) ]

   时间复杂度(O(k^2))

2. 拉格朗日插值

   明显是一个关于n的k+1次多项式，可以做到(O(k))

3. 斯特林数（见组合数学）

4. 伯努利数

   [f(n,k)=frac1{k+1}sum_{i=1}^{k+1}C_{k+1}^iB_{k+1-i}(n+1)^i ]

   (B_0=1)，对于(n>0)有

   [sum_{i=0}^nC_{n+1}^iB_i=0 ]

5. 多项式差分

   (g(n)=n^k)这一函数的差分表的第0条对角线为(c_0…c_k)

   [sum_{i=0}^nf(i)=sum_{i=0}^nsum_{j=0}^kc_jC_i^j ]
   [=sum_{j=0}^ksum_{i=0}^nc_jC_i^j ]
   [=sum_{j=0}^kc_jC_{n+1}^{j+1} ]