题意
Description
B 君有两个好朋友，他们叫宁宁和冉冉。有一天，冉冉遇到了一个有趣的题目：输入 b;d;n，求
[lfloor left ( frac{b+sqrt{d}}{2}
ight ) ^n
floor mathrm{mod} p
]
其中(p=7528443412579576937)
Input
一行三个整数 b;d;n
Output
一行一个数表示模 7528443412579576937 之后的结果。
Sample Output
76
HINT
其中 (0<b^2 le d<(b+1)^2 le 10^{18},n le 10^{18})，并且 (b mod 2=1,d mod 4=1)
分析
因为这个底数长得特别像特征方程的根，所以考虑构造数列，使得
[a_n = A*(frac{b+sqrt{d}}{2})^n + B*(frac{b-sqrt{d}}{2})^n
]
假设特征方程是(x^2 + bx +c=0)，则
[b = -b_0 \
b^2 -4c = d_0
]
所以得到数列的递推公式：
[a_n = b a_{n-1} - frac{b^2-d}{4} a_{n-2}
]
由于我们想让(A=1,B=1)，所以(a_0 = 2 ,a_1=b)。
因为(b mod 2=1,d mod 4=1)，所以(frac{b^2-d}{4})必然是整数。那么(a_n)就可以用矩阵乘法解决了。那么
[(frac{b+sqrt{d}}{2})^n = a_n - (frac{b-sqrt{d}}{2})^n
]
因为(0<b^2 le d<(b+1)^2)，所以(frac{b-sqrt{d}}{2} in (-1,0])，题目要求的是下取整，所以当(b^2<d,n mod 2 =0)时，答案要减去1。
时间复杂度(O(2^3 log n log modulo))
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define il inline
#define co const
template<class T>il T read(){
rg T data=0,w=1;
rg char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){
if(ch=='-') w=-1;
ch=getchar();
}
while(isdigit(ch))
data=data*10+ch-'0',ch=getchar();
return data*w;
}
template<class T>il T read(rg T&x){
return x=read<T>();
}
typedef unsigned long long ULL;
co ULL mod=7528443412579576937;
ULL add(ULL x,ULL y){
return (x+=y)>=mod?x-mod:x;
}
ULL mul(ULL x,ULL y){
ULL re=0;
for(;y;y>>=1,x=add(x,x))
if(y&1) re=add(re,x);
return re;
}
ULL A[2][2],ANS[2][2],c[2][2];
void mul(ULL a[2][2],ULL b[2][2]){
for(int i=0;i<2;++i)
for(int j=0;j<2;++j)
for(int k=0;k<2;++k)
c[i][j]=add(c[i][j],mul(a[i][k],b[k][j]));
for(int i=0;i<2;++i)
for(int j=0;j<2;++j)
b[i][j]=c[i][j],c[i][j]=0;
}
ULL b,d,n;
int main(){
// freopen(".in","r",stdin);
// freopen(".out","w",stdout);
read(b),read(d),read(n);
A[0][0]=b,A[0][1]=(d-b*b)/4,A[1][0]=1;
ANS[0][0]=b,ANS[1][0]=2;
bool del=b*b<d&&n%2==0;
for(;n;n>>=1,mul(A,A))
if(n&1) mul(A,ANS);
printf("%llu
",add(ANS[1][0],mod-del));
return 0;
}