JXOI2017 数列

数列

九条可怜手上有一个长度为 (n) 的整数数列 (r_i) ，她现在想要构造一个长度为 (n) 的，满足如下条件的整数数列 (A)：

• (1leq A_i leq r_i)。
• 对于任意 (3 leq i leq n)，令 (R) 为 (A_1) 至 (A_{i-2}) 中大于等于 (A_{i-1}) 的最小值，(L) 为 (A_1) 至 (A_{i-2}) 中小于等于 (A_{i-1}) 的最大值。(A_i) 必须满足 (L leq A_i leq R)。如果不存在大于等于 (A_{i-1}) 的，那 么 (R = +infty)；如果不存在小于等于 (A_{i-1}) 的，那么 (L = −infty)。

现在可怜想要知道共有多少不同的数列满足这个条件。两个数列 (A) 和 (B) 是不同的当且仅当至少存在一个位置 (i) 满足 (A_i eq B_i)。

(nleq 50,rleq 150)

题解

http://jklover.hs-blog.cf/2020/06/06/Loj-2273-数列/#more

dp 计数.

不难发现,合法的选择区间会在选一个数之后不断收缩,将它作为状态记录下来 dp 即可.

设 (dp(i,l,r,k)) 表示考虑了前 (i) 个数,下个数合法的选择区间为 ([l,r]) , 最后一个数的值为 (k) 的方案数.

转移时,对于 ([l,l],[l+1,k-1],[k,k],[k+1,r-1],[r,r]) 这几段分别转移,每一段内转移到新的 (l,r) 是一样的.

于是修改差分就可以完成 (O(1)) 转移,注意处理 (l,r) 不存在等特殊情况,时间复杂度 (O(ncdot r^3)) .

CO int N=160;
int t[N],f[2][N][N][N];

IN void trans(int o,int l,int r,int L,int R,int v){ // k in [L,R]
	if(L>R) return;
	f[o][l][r][L]=add(f[o][l][r][L],v),f[o][l][r][R+1]=add(f[o][l][r][R+1],mod-v);
}
int main(){
	int n=read<int>(),m=0;
	for(int i=1;i<=n;++i) m=max(m,read(t[i]));
	int o=0,bound=t[1];
	f[o][0][m+1][1]=1,f[o][0][m+1][bound+1]=mod-1;
	for(int i=2;i<=n;++i){
		for(int l=0;l<=m+1;++l)for(int r=l;r<=m+1;++r)
			for(int k=l;k<=r;++k) f[o][l][r][k]=add(f[o][l][r][k],f[o][l][r][k-1]);
		o^=1,bound=t[i];
		for(int l=0;l<=m+1;++l)for(int r=l;r<=m+1;++r)
			for(int k=l;k<=r;++k) f[o][l][r][k]=0;
		for(int l=0;l<=m+1;++l)for(int r=l;r<=m+1;++r)
			for(int k=l;k<=r;++k)if(f[o^1][l][r][k]){
				int L=max(l,1),R=min(l,bound);
				trans(o,l,l,L,R,f[o^1][l][r][k]);
				L=max(l+1,1),R=min(k-1,bound);
				trans(o,l,k,L,R,f[o^1][l][r][k]);
				if(k>l){
					L=max(k,1),R=min(k,bound);
					trans(o,k,k,L,R,f[o^1][l][r][k]);
				}
				L=max(k+1,1),R=min(r-1,bound);
				trans(o,k,r,L,R,f[o^1][l][r][k]);
				if(r>k){
					L=max(r,1),R=min(r,bound);
					trans(o,r,r,L,R,f[o^1][l][r][k]);
				}
			}
	}
	int ans=0;
	for(int l=0;l<=m+1;++l)for(int r=l;r<=m+1;++r)
		for(int k=l;k<=r;++k){
			f[o][l][r][k]=add(f[o][l][r][k],f[o][l][r][k-1]);
			ans=add(ans,f[o][l][r][k]);
		}
	printf("%d
",ans);
	return 0;
}