联合省选2020 魔法商店

魔法商店

笠笠和伦伦来到了一家魔法商店，这家商店内有 (n) 件礼品，礼品从 (1sim n) 编号，(i) 号礼品的魅力值为 (c_i)，价格为 (v_i)。

两人希望购买一些礼品，但他们的要求比较奇怪：假设购买到的礼品集合为 (S = {s_1, s_2, dots, s_p}(1le s_ile n))，两人要求对于 (S) 中任意的非空子集 (T = {t_1, t_2, dots, t_q})，它包含的所有礼品的魅力值异或和都不为零，即：(c_{t_1} oplus c_{t_2} oplus cdots oplus c_{t_q} eq 0)。其中 (oplus) 是异或运算。在此基础上，两人还要求购买到的礼品数尽可能多。

例如：(c_1 = 1，c_2 = 2，c_3 = 5，c_4 = 6，c_5 = 7)。则 (S_1 = {2,3,5}) 不符合要求，因为 (c_2 oplus c_3 oplus c_5 = 0)。(S_2 = {1,2,3}) 与 (S_3 = {2, 4, 5}) 符合要求，其任意非空子集的异或和都不为零。(S_4 = {1, 2}) 因为其包含的礼品数不是最多的。

满足两人要求的礼品集合可能很多，因此商店老板为两人挑选出了两个符合要求的礼品集合 (A) 与 (B)（显然它们所含的礼品数相同），伦伦喜欢集合 (A)，但笠笠更喜欢集合 (B)。为了笠笠同意购买集合 (A)，伦伦决定使用魔法改变礼品价格。更具体地，伦伦能花费 ((x - v_i)^2) 的魔力值，将 (i) 号礼品的价格改为任意整数 (x)，每件礼品只能被改价一次。

伦伦希望改价后 (A) 是所有符合要求的礼品集合之中价格总和最小的，且 (B) 是所有符合要求的礼品集合之中价格总和最大的（一个礼品集合的价格总和为它包含的所有礼品的价格之和）。现在请你帮伦伦计算，他至少要花费多少魔力值才能完成他的目标。

对于所有测试数据：(1le nle 1000)，(1le mle 64)，(1le c_i < 2^{64})，(0le v_ile 10^6)。

保序回归问题

https://www.luogu.com.cn/blog/Hakurei-Reimu/solution-p6621

保序回归问题是指，对于一个正整数 (p) ，给定一个偏序关系（有向无环图），图中每个点 (i) 有权值 ((w_i,y_i)) ，你要给每个点赋上另一个权值 (f_i) ，使得图中任意一条有向路径上的 (f_i) 递增，并最小化回归代价:

[sum_{iin U} w_i|f_i-y_i|^p ]

我们把上述问题称作 (L_p) 问题。

(L_p) 均值与其性质

我们定义 (L_p) 均值为使 (sumlimits_{iin U}w_i|k-y_i|^p) 最小的 (k) ，也就是所有 (f_i) 相等时的最优取值。对目标式求导，解出其零点就是 (L_p) 均值，这里给出 (L_1) 均值为 (y_i) 的带权中位数， (L_2) 均值为 (y_i) 的带权平均数 （ (left(sumlimits_{iin U}w_iy_i ight)left/left(sumlimits_{iin U}w_i ight) ight.) ）。可以证明，当 (p>1) 时， (L_p) 均值是唯一的；且 (L_p) 问题一定存在一组最优解，使得对于任意 (f_i) 都可以找到某个点集，使它的 (L_p) 均值等于 (f_i) 。

(f_i)可以只取是某点集(L_p)均值的值。否则为什么要取呢？

整体二分

应用整体二分的思想，可以得到一个求问题的近似解的算法。

我们在原问题的基础上加入一些限制。定义 (solve(U,l,r)) 表示当前点集为 (U) ，且 (f_i) 的取值在区间 ([l,r]) 内的 (L_p) 问题。

注意这是新加的限制，现在的最优解也是限制了取值范围之后的最优解（一定存在）。

设 (mid=(l+r)/2) ，如果我们能够知道 (U) 的任意一组最优解中，有哪些点是 (leq mid) 的，就可以将当前问题划分成两个规模减半的子问题了。

尝试构造另一个问题。设开区间 ((a,b)) 被 ([l,r]) 包含，且 (U) 的任意非空子集的 (L_p) 均值都不在 ((a,b)) 内。这个性质保证了对于任意的子问题，都存在一组最优解满足其所有元素均不在 ((a,b)) 中。下面给出一个引理：

若 (solve(U,a,b)) 的一组最优解为 ( ilde z) ，且满足 (forall iin U, ilde z_{i} otin (a,b)) 。则存在 (solve(U,l,r)) 的一组最优解 (z) ，使得 (z_ileq a) 当且仅当 ( ilde z_i=a)。

“当且仅当”换做符号表示是(Leftrightarrow)，所以也有(z_igeq bLeftrightarrow ilde z_i=b)。

回到原问题，考虑找到满足性质的区间 ((mid,mid+epsilon)) ，那么就可以由 (solve(U,mid,mid+epsilon)) 的最优解来确定 (U) 中的哪些点在原问题的最优解中是 (leq mid) 的。但直接找到这样的区间比较麻烦，可能还需要跑浮点网络流，会遇到精度等一系列问题。

由于 (U) 的任意非空子集的 (L_p) 的并集是有限集，所以一定存在足够小的 (epsilon) 使得区间中没有这些元素。当 (epsilon) 无限趋近于 (0) 时，节点 (i) 的权值为 (w_i[(mid+epsilon-y_i)^p-(mid-y_i)^p]) 。把所有点的权值除以 (epsilon) ，最优方案不变，权值变为 (w_i(mid-y_i)^p) 在 (mid-y_i) 处的导数。当 (p=2) 时，权值为 (2w_i(mid-y_i)) ，于是问题得到了完美的解决。

本题题解

题目中要求了大小关系的子集都是给定的 (n) 个 01 向量的极大线性无关组。所以从某一组向量中拿走一个，线性空间维数会减一，也就能再加入一个向量。因此任意两组向量之间是可以由替换元素这个操作来互相转化的，并且替换的顺序没有限制。于是我们只需要从向量组 (A) 的每个元素向能替换它的元素连边，向量组 (B) 反之，即可构造出偏序关系。然后就可以跑 (L_2) 问题了。

然后有个问题就是这题要求修改后的价格为整数，可以这样处理：当 (r-l=1) 时，仍然是答案只有两种取值的情况，因此仍可以用转化成最小闭合子图问题，相应地每个点的权值设为选 (r) 与选 (l) 的代价差即可。

((l+1-w_i)^2-(l-w_i)^2=2(l-w_i)+1)

时间复杂度(O(m^2n+ ext{flow}(n,n^2)log n))。

CO int N=1e3+10,inf=1e9;
namespace FLOW{
	int S,T;
	struct edge {int y,c,a;};
	vector<edge> to[N];
	int dis[N];
	
	void init(int n){
		S=n-1,T=n;
		for(int i=1;i<=n;++i) to[i].clear();
	}
	IN void link(int x,int y,int c){
		to[x].push_back({y,c}),to[y].push_back({x,0});
		to[x].back().a=to[y].size()-1,to[y].back().a=to[x].size()-1;
	}
	bool bfs(){
		fill(dis+1,dis+T+1,inf),dis[S]=0;
		deque<int> que{S};
		while(que.size()){
			int x=que.front();que.pop_front();
			for(CO edge&e:to[x])if(e.c and dis[e.y]==inf)
				dis[e.y]=dis[x]+1,que.push_back(e.y);
		}
		return dis[T]<inf;
	}
	int dfs(int x,int lim){
		if(x==T) return lim;
		int rest=lim;
		for(edge&e:to[x])if(e.c and dis[e.y]==dis[x]+1){
			int delta=dfs(e.y,min(rest,e.c));
			if(delta==0) {dis[e.y]=inf; continue;}
			rest-=delta,e.c-=delta,to[e.y][e.a].c+=delta;
			if(rest==0) break; // edit 1
		}
		return lim-rest;
	}
	int main(){
		int ans=0;
		while(bfs()) ans+=dfs(S,inf);
		return ans;
	}
}

namespace BASE{
	uint64 x[64];
	IN void clear(){
		fill(x,x+64,0);
	}
	int insert(uint64 v){
		for(int i=63;i>=0;--i)if(v>>i&1){
			if(x[i]) v^=x[i];
			else return x[i]=v,i;
		}
		return -1;
	}
}

uint64 c[N];
int v[N],a[N],b[N];
list<int> to[N];
int p[N],q[N],f[N];

void solve(int l,int r,int L,int R){
	if(l>r) return;
	if(L+1==R){
		FLOW::init(r-l+3);
		for(int i=l;i<=r;++i) q[p[i]]=i-l+1;
		for(int i=l;i<=r;++i){
			int x=p[i],w=-(2*(L-v[x])+1);
			if(w>0) FLOW::link(FLOW::S,q[x],w);
			else if(w<0) FLOW::link(q[x],FLOW::T,-w);
			for(list<int>::iterator j=to[x].begin();j!=to[x].end();){
				int y=*j;
				if(q[y]) FLOW::link(q[x],q[y],inf),++j;
				else j=to[x].erase(j);
			}
		}
		FLOW::main(),FLOW::bfs();
		for(int i=l;i<=r;++i){
			int x=p[i];
			if(FLOW::dis[q[x]]==inf) f[x]=L; // cut to T
			else f[x]=R;
		}
		for(int i=l;i<=r;++i) q[p[i]]=0;
		return;
	}
	int mid=(L+R)>>1;
	FLOW::init(r-l+3);
	for(int i=l;i<=r;++i) q[p[i]]=i-l+1;
	for(int i=l;i<=r;++i){
		int x=p[i],w=-(mid-v[x]);
		if(w>0) FLOW::link(FLOW::S,q[x],w);
		else if(w<0) FLOW::link(q[x],FLOW::T,-w);
		for(list<int>::iterator j=to[x].begin();j!=to[x].end();){
			int y=*j;
			if(q[y]) FLOW::link(q[x],q[y],inf),++j;
			else j=to[x].erase(j);
		}
	}
	FLOW::main(),FLOW::bfs();
	static int t[N];
	int ql=l-1,qr=r+1;
	for(int i=l;i<=r;++i){
		int x=p[i];
		if(FLOW::dis[q[x]]==inf) t[++ql]=x;
		else t[--qr]=x;
	}
	for(int i=l;i<=r;++i) q[p[i]]=0;
	copy(t+l,t+r+1,p+l);
	solve(l,ql,L,mid);
	solve(qr,r,mid,R);
}
int main(){
	int n=read<int>(),m=read<int>();
	for(int i=1;i<=n;++i) read(c[i]);
	for(int i=1;i<=n;++i) read(v[i]);
	for(int i=1;i<=m;++i) read(a[i]);
	for(int i=1;i<=m;++i) read(b[i]);
	for(int i=1;i<=m;++i){ // find items which a[i] can be replaced with
		BASE::clear();
		for(int j=1;j<=m;++j)if(j!=i) BASE::insert(c[a[j]]);
		for(int j=1;j<=n;++j)if(j!=a[i]){
			int p=BASE::insert(c[j]);
			if(p!=-1) to[a[i]].push_back(j),BASE::x[p]=0;
		}
	}
	for(int i=1;i<=m;++i){
		BASE::clear();
		for(int j=1;j<=m;++j)if(j!=i) BASE::insert(c[b[j]]);
		for(int j=1;j<=n;++j)if(j!=b[i]){
			int p=BASE::insert(c[j]);
			if(p!=-1) to[j].push_back(b[i]),BASE::x[p]=0;
		}
	}
	iota(p+1,p+n+1,1);
	solve(1,n,0,1e6);
	int64 ans=0;
	for(int i=1;i<=n;++i) ans+=(int64)(f[i]-v[i])*(f[i]-v[i]);
	printf("%lld
",ans);
	return 0;
}