二分查找
二分查找算法基本思想
二分查找算法的前置条件是,一个已经排序好的序列(在本篇文章中为了说明问题的方便,假设这个序列是升序排列的),这样在查找所要查找的元素时,首先与序列中间的元素进行比较,如果大于这个元素,就在当前序列的后半部分继续查找,如果小于这个元素,就在当前序列的前半部分继续查找,直到找到相同的元素,或者所查找的序列范围为空为止.
用伪代码来表示, 二分查找算法大致是这个样子的:
1 left = 0, right = n -1 2 3 while (left <= right) 4 5 mid = (left + right) / 2 6 7 case 8 9 x[mid] < t: left = mid + 1; 10 11 x[mid] = t: p = mid; break; 12 13 x[mid] > t: right = mid -1; 14 15 16 17 return -1;
第一个正确的程序
根据前面给出的算法思想和伪代码, 我们给出第一个正确的程序,但是,它还有一些小的问题,后面会讲到：
1 int search(int array[], int n, int v) 2 3 { 4 5 int left, right, middle; 6 7 8 9 left = 0, right = n - 1; 10 11 12 13 while (left <= right) 14 15 { 16 17 middle = (left + right) / 2; 18 19 if (array[middle] > v) 20 21 { 22 23 right = middle; 24 25 } 26 27 else if (array[middle] < v) 28 29 { 30 31 left = middle; 32 33 } 34 35 else 36 37 { 38 39 return middle; 40 41 } 42 43 } 44 45 46 47 return -1; 48 49 }
下面,讲讲在编写二分查找算法时可能出现的一些问题.
边界错误造成的问题
二分查找算法的边界,一般来说分两种情况,一种是左闭右开区间,类似于[left, right),一种是左闭右闭区间,类似于[left, right].需要注意的是, 循环体外的初始化条件,与循环体内的迭代步骤, 都必须遵守一致的区间规则,也就是说,如果循环体初始化时,是以左闭右开区间为边界的,那么循环体内部的迭代也应该如此.如果两者不一致,会造成程序的错误.比如下面就是错误的二分查找算法：
1 int search_bad(int array[], int n, int v) 2 3 { 4 5 int left, right, middle; 6 7 8 9 left = 0, right = n; 10 11 12 13 while (left < right) 14 15 { 16 17 middle = (left + right) / 2; 18 19 if (array[middle] > v) 20 21 { 22 23 right = middle - 1; 24 25 } 26 27 else if (array[middle] < v) 28 29 { 30 31 left = middle + 1; 32 33 } 34 35 else 36 37 { 38 39 return middle; 40 41 } 42 43 } 44 45 46 47 return -1; 48 49 }
这个算法的错误在于, 在循环初始化的时候,初始化right=n,也就是采用的是左闭右开区间,而当满足array[middle] > v的条件是, v如果存在的话应该在[left, middle)区间中,但是这里却把right赋值为middle - 1了,这样,如果恰巧middle-1就是查找的元素,那么就会找不到这个元素.
下面给出两个算法, 分别是正确的左闭右闭和左闭右开区间算法,可以与上面的进行比较：
1 int search2(int array[], int n, int v) 2 3 { 4 5 int left, right, middle; 6 7 8 9 left = 0, right = n - 1; 10 11 12 13 while (left <= right) 14 15 { 16 17 middle = (left + right) / 2; 18 19 if (array[middle] > v) 20 21 { 22 23 right = middle - 1; 24 25 } 26 27 else if (array[middle] < v) 28 29 { 30 31 left = middle + 1; 32 33 } 34 35 else 36 37 { 38 39 return middle; 40 41 } 42 43 } 44 45 46 47 return -1; 48 49 } 50 51 /*------------华丽的分割线----------------------------*/ 52 53 int search3(int array[], int n, int v) 54 55 { 56 57 int left, right, middle; 58 59 60 61 left = 0, right = n; 62 63 64 65 while (left < right) 66 67 { 68 69 middle = (left + right) / 2; 70 71 72 73 if (array[middle] > v) 74 75 { 76 77 right = middle; 78 79 } 80 81 else if (array[middle] < v) 82 83 { 84 85 left = middle + 1; 86 87 } 88 89 else 90 91 { 92 93 return middle; 94 95 } 96 97 } 98 99 100 101 return -1; 102 103 }
死循环
上面的情况还只是把边界的其中一个写错, 也就是右边的边界值写错, 如果两者同时都写错的话,可能会造成死循环,比如下面的这个程序：
1 int search_bad2(int array[], int n, int v) 2 3 { 4 5 int left, right, middle; 6 7 8 9 left = 0, right = n - 1; 10 11 12 13 while (left <= right) 14 15 { 16 17 middle = (left + right) / 2; 18 19 if (array[middle] > v) 20 21 { 22 23 right = middle; 24 25 } 26 27 else if (array[middle] < v) 28 29 { 30 31 left = middle; 32 33 } 34 35 else 36 37 { 38 39 return middle; 40 41 } 42 43 } 44 45 46 47 return -1; 48 49 }
这个程序采用的是左闭右闭的区间.但是,当array[middle] > v的时候,那么下一次查找的区间应该为[middle + 1, right], 而这里变成了[middle, right];当array[middle] < v的时候,那么下一次查找的区间应该为[left, middle - 1], 而这里变成了[left, middle].两个边界的选择都出现了问题, 因此,有可能出现某次查找时始终在这两个范围中轮换,造成了程序的死循环.
溢出
前面解决了边界选择时可能出现的问题, 下面来解决另一个问题,其实这个问题严格的说不属于算法问题,不过我注意到很多地方都没有提到,我觉得还是提一下比较好.
在循环体内,计算中间位置的时候,使用的是这个表达式：
1 middle = (left + right) / 2;
假如,left与right之和超过了所在类型的表示范围的话,那么middle就不会得到正确的值.
所以,更稳妥的做法应该是这样的。
1 middle = left + (right - left) / 2;
更完善的算法
前面我们说了,给出的第一个算法是一个"正确"的程序, 但是还有一些小的问题。
首先, 如果序列中有多个相同的元素时,查找的时候不见得每次都会返回第一个元素的位置, 比如考虑一种极端情况:序列中都只有一个相同的元素,那么去查找这个元素时,显然返回的是中间元素的位置.
其次, 前面给出的算法中,每次循环体中都有三次情况,两次比较,有没有办法减少比较的数量进一步的优化程序?
<<编程珠玑>>中给出了解决这两个问题的算法,结合前面提到溢出问题我对middle的计算也做了修改：
3 int search4(int array[], int n, int v) 4 5 { 6 7 int left, right, middle; 8 9 10 11 left = -1, right = n; 12 13 14 15 while (left + 1 != right) 16 17 { 18 19 middle = left + （right － left) / 2; 20 21 22 23 if (array[middle] < v) 24 25 { 26 27 left = middle; 28 29 } 30 31 else 32 33 { 34 35 right = middle; 36 37 } 38 39 } 40 41 42 43 if (right >= n || array[right] != v) 44 45 { 46 47 right = -1; 48 49 } 50 51 52 53 return right; 54 55 }
以上这个最精简