猫树 简单介绍

猫树是一种类似ST表的数据结构，初始化 (O(nlog n)) 查询 (O(1))，不允许修改（或者说修改代价非常大）

ST表支持的运算要满足可重复贡献，即 (x imes x=x)，比如区间RMQ、区间gcd、区间lcm等

前缀和支持的运算要满足存在逆元（意味着存在逆运算），比如区间和、区间模乘等

而猫树则没有两个限制，猫树支持线段树支持的几乎所有查询操作，除去上述操作外还可以支持矩阵乘法、线性基（ST表也可以线性基但是不能判断是否线性相关）等

我们以ST表模板题为例介绍一下猫树
https://www.luogu.com.cn/problem/P3865

我们先假设n是2的整数次幂，如果不是就要在初始化的时候处理一下

猫树的第0层所有 ([i,i]) 构成了 (n) 个区间，第1层所有 ([2i,2i+1]) 构成了 (dfrac n 2) 区间，第2层所有 ([4i,4i+3]) 构成了 (dfrac n 4) 个区间，依次类推

假设第 (s) 层有一个区间 ([l,r])，令它的中点 (m=(l+r)/2)，计算区间 ([l,m]) 的后缀和，存在 (cat[s][l...m]) 中；同样计算区间 ([m+1,r]) 的前缀和，存在 (cat[s][(m+1)...r]) 中

比如 (n=8) 的情况如下

原数组	a[0]	a[1]	a[2]	a[3]	a[4]	a[5]	a[6]	a[7]
第0层	[ ]	[ ]	[ ]	[ ]	[ ]	[ ]	[ ]	[ ]
第1层	[	]	[	]	[	]	[	]
第2层	[	-	-	]	[	-	-	]
第3层	[	-	-	-	-	-	-	]

原数组	a[0]	a[1]	a[2]	a[3]	a[4]	a[5]	a[6]	a[7]
第0层	(a[0])	(a[1])	(a[2])	(a[3])	(a[4])	(a[5])	(a[6])	(a[7])
第1层	(a[0])	(a[1])	(a[2])	(a[3])	(a[4])	(a[5])	(a[6])	(a[7])
第2层	(a[0]+a[1])	(a[1])	(a[2])	(a[2]+a[3])	(a[4]+a[5])	(a[5])	(a[6])	(a[6]+a[7])
第3层	(a[0]+...+a[3])	(a[1]+...+a[3])	(a[2]+a[3])	(a[3])	(a[4])	(a[4]+a[5])	(a[4]+...+a[6])	(a[4]+...+a[7])

我们发现对任意的查询区间 ([l_q,r_q])，一定存在猫树上的某个区间 ([l,r])，([l,r]) 包含了 ([l_q,r_q]) 并且它的中点在 ([l_q,r_q]) 内

因此我们只要找到这个区间，然后用后缀和+前缀和来计算答案

因为某种巧合，区间 ([l_q,r_q]) 对应的猫树区间在第 (lfloorlog_2(l_q)^(r_q) floor) 层内

这里有个小操作，可以用 32-__builtin_clz(x) 代替 (lfloorlog_2(x) floor)（因为我懒得初始化log数组）

猫树的代码量其实还好，也就st表的两三倍

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define repeat(i,a,b) for(int i=(a),_=(b);i<_;i++)
#define repeat_back(i,a,b) for(int i=(b)-1,_=(a);i>=_;i--)
typedef long long ll; const int inf=~0u>>2; const ll INF=~0ull>>2; ll read(){ll x; if(scanf("%lld",&x)==-1)exit(0); return x;}
const int N=200010;
ll in[N];
struct cat{
	#define U(a,b) max(a,b) //查询操作
	#define a0 0 //查询操作的零元
	#define logN 21
	ll a[logN][N]; //内存等于2^k且大于等于两倍inn
	void init(int s,int l,int r){
		int m=(l+r)/2;
		repeat_back(i,l,m)a[s][i]=U(a[s][i+1],in[i]);
		repeat(i,m+2,r+1)a[s][i]=U(a[s][i-1],in[i]);
	}
	void init(int inn){ //建树
		int n; for(n=1;n<inn;n<<=1); repeat(i,inn,n)in[i]=a0;
		for(int len=1,s=0;len<=n;len<<=1,s++){
			repeat(i,0,n)a[s][i]=in[i];
			for(int i=0;i<n;i+=len)
				init(s,i,i+len-1);
		}
	}
	ll query(int l,int r){ //区间查询
		int s=32-__builtin_clz(l^r);
		if(l==r)return a[s][l];
		else return U(a[s][l],a[s][r]);
	}
}tr;
signed main(){
	//ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); //freopen("in.txt","r",stdin);
	int n=read(),m=read();
	repeat(i,0,n)in[i]=read();
	tr.init(n);
	while(m--){
		int x=read()-1,y=read()-1;
		printf("%lld
",tr.query(x,y));
	}
	return 0;
}