什么是线性变换？
假设有一数学函数(f)，使得三维向量(vec v=(x,y,z)),有(f(vec v) = f(x, y, z) = (x',y',z'))。那么，如果(f)满足：
- (f(vec u + vec v) = f(vec u) + f(vec v))
- (f(k vec v) = kf(vec v))
那么，称(f)为线性变换。
线性变换的矩阵表示
[egin{align*}
f(vec v) &= f(x vec i + y vec j + z vec k) \
&= f(x vec i) + f(y vec j) + f(z vec k) \
&= xf(vec i) + yf(vec j) + zf(vec k) \
&= [x, y, z] cdot egin{bmatrix} f(vec i) \ f(vec j) \ f(vec k) end{bmatrix}
end{align*}
]
缩放变换
易知，缩放变换(S(vec v) = S(x, y, z) = (s_x x, s_y y, s_z z))。那么，我们尝试证明一下它是线性变换：
[egin{align*}
S(vec u + vec v) &= S(u_x+v_x, u_y+v_y, u_z+v_z) \
&= (s_x(u_x+v_x), s_y(u_y+v_y), s_z(u_z+v_z)) \
&= (s_xu_x + s_xv_x, s_yu_y + s_yv_y, s_zu_z + s_zv_z) \
&= (s_xu_x, s_yu_y, s_zu_z) + (s_xv_x, s_yv_y, s_zv_z) \
&= S(vec u) + S(vec v)
end{align*}
]
[egin{align*}
S(kvec v) &= S(kv_x, kv_y, kv_z) \
&= (ks_xv_x, ks_yv_y, ks_zv_z) \
&= k(s_xv_x, s_yv_y, s_zv_z) \
&= kS(vec v)
end{align*}
]
综上，我们证明了缩放变换是线性变换。由之前线性变换的矩阵表示，我们可以推导缩放变换的矩阵表示为
[egin{bmatrix} S(vec i) \ S(vec j) \ S(vec k) end{bmatrix} =
egin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \ 0 & s_y & 0 \ 0 & 0 & s_z end{bmatrix}
]
旋转变换
我们定义旋转变换为将一个向量(vec v)绕任意轴(vec n)顺时针旋转( heta)角度，如图所示：
由图可知，我们要求的就是将向量(vec v)绕向量(vec n)旋转( heta)角度后得到的(vec v')。首先，我们注意到在旋转过程中，与旋转轴平行的向量是不参与旋转过程的，只有与旋转轴垂直的向量在真正旋转。因此可以将向量(vec v)分解为与(vec n)平行的向量(vec v_parallel)和垂直的向量(vec v_perp)。即：
[vec v = vec v_parallel + vec v_perp
]
那么
[vec v' = vec v_parallel + vec v'_perp
]
其中，平行向量(vec v_parallel)是向量(vec v)在旋转轴(vec n)上的投影。这里假定，旋转轴向量(vec n)是归一化过的，即单位向量。由向量投影的定义，可得到
[vec v_parallel = (vec v cdot vec n) vec n
]
进而可得
[vec v_perp = vec v - vec v_parallel = vec v - (vec v cdot vec n) vec n
]
接下来，我们只要求得旋转后的(vec v'_perp)即可。注意到已知的(vec v_perp)，且这两个向量都位于同一个圆的旋转平面上，因此只要再得到一个垂直于(vec v_perp)的向量(vec w)，且向量(vec w)与这两个向量共面，就可以通过旋转角度( heta)算出向量(vec v'_perp)了：
[vec v'_perp = vec v_perp cdot cos heta + vec w cdot sin heta
]
那么，怎样的(vec w)是满足以上条件的呢？注意到向量的叉积的几何意义：两向量的叉积后得到的向量与这两个向量是垂直的。所以，我们令
[vec w = frac{|vec v_perp|}{|vec n imes vec v|} cdot (vec n imes vec v)
]
向量前面的系数是为了让向量的模与(vec v_perp)相等。这样就求出了满足条件的(vec w)。特别地，由向量叉积的定义，可以将上式简化为
[vec w = frac{|vec v_perp|}{|vec n| |vec v| sin heta} cdot (vec n imes vec v)
]
由图可知，(|vec v_perp| = |vec v| sin heta)，而向量(vec n)是单位向量，所以得到：
[vec w = vec n imes vec v
]
综合以上若干等式，求出最终的(vec v')为
[vec v' = (vec v cdot vec n) vec n + (vec v - (vec v cdot vec n) vec n)cos heta + (vec n imes vec v)sin heta
]
回到线性变换的定义来，旋转变换(R(vec v) = R(x, y, z))。将其代入上式，可以得到
[R(x,y,z) = (r_{11}x + r_{21}y + r_{31}z, r_{12}x + r_{22}y + r_{32}z, r_{13}x + r_{23}y + r_{33}z)
]
根据线性变换的定义，容易证明旋转变换是一种线性变换。那么，旋转变换的矩阵表示为：
[egin{bmatrix} R(vec i) \ R(vec j) \ R(vec k) end{bmatrix} =
egin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} \ r_{21} & r_{22} & r_{23} \ r_{31} & r_{32} & r_{33} end{bmatrix} =
egin{bmatrix} c + (1 - c)x^2 & (1-c)xy + sz & (1-c)xz - sy \ (1-c)xy - sz & c+(1-c)y^2 & (1-c)yz + sx \ (1-c)xz + sy & (1-c)yz - sx & c+(1-c)z^2 end{bmatrix}
]
其中，(c=cos heta, s = sin heta, x,y,z)分别为向量(vec n)的三个分量。