【程序员眼中的统计学（2）】集中趋势度量：分散性、变异性、强大的距

 集中趋势度量：分散性、变异性、强大的距

作者 白宁超
2015年10月14日10:13:13

摘要：程序员眼中的统计学系列是作者和团队共同学习笔记的整理。首先提到统计学，很多人认为是经济学或者数学的专利，与计算机并没有交集。诚然在传统学科中，其在以上学科发挥作用很大。然而随着科学技术的发展和机器智能的普及，统计学在机器智能中的作用越来越重要。本系列统计学的学习基于《深入浅出统计学》一书（偏向代码实现，需要读者有一定基础，可以参见后面PPT学习）。正如（吴军）先生在《数学之美》一书中阐述的，基于统计和数学模型对机器智能发挥重大的作用。诸如：语音识别、词性分析、机器翻译等世界级的难题也是从统计中找到开启成功之门钥匙的。尤其是在自然语言处理方面更显得重要，因此，对统计和数学建模的学习是尤为重要的。最后感谢团队所有人的参与。（ 本文原创，转载注明出处：集中趋势度量：分散性、变异性、强大的距  )

 目录

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【程序员眼中的统计学（1）】 信息图形化：第一印象

【程序员眼中的统计学（2）】集中趋势度量：分散性、变异性、强大的距

【程序员眼中的统计学（3）】概率计算：把握机会

【程序员眼中的统计学（4）】离散概率分布的运用：善用期望

【程序员眼中的统计学（5）】排列组合：排序、排位、排

【程序员眼中的统计学（6）】几何分布、二项分布及泊松分布：坚持离散

【程序员眼中的统计学（7）】正态分布的运用：正态之美

【程序员眼中的统计学（8）】统计抽样的运用：抽取样本

【程序员眼中的统计学（9）】总体和样本的估计：进行预测

【程序员眼中的统计学（10）】假设检验的运用：研究证据

【程序员眼中的统计学（11）】卡方分布的应用

【程序员眼中的统计学（12）】相关与回归：我的线条如何?

1 平均值

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1.1 均值算法的描述

均值的定义

均值有两种计算方法：第一种计算方式是：将所有的数字加起来，然后除以数字的个数 。可用记为：µ=∑x/n

另一种计算方法是把每个数的频数考虑进去了的，它表示如下：µ=∑fx/f

均值符号定义

n：表示的是输入的数据的个数

µ:为数据的均值

∑:表示所有数据之和

均值算法中的计算方法

1. 统计出输入数据的个数n
2. 计算出所有的数据之和 sum
3. 计算出数据的均值avg=sum/n

1.2 均值算法的应用场景

案例描述：俱乐部中，各个舞蹈班的人数的清单为：1人，2人，3 人，4人，5人，6人，7人。

均值算法在该场景的定义

案例定义：这个俱乐部舞蹈班的总人数为28，总共有7个舞蹈班，知道了总的人数和总共有多少个班级，即可求出舞蹈班人数的均值。

该场景下算法中符号解释

n：用来统计输入的舞蹈班的个数

list：用来存储输入的舞蹈班的人数

sum：表示所有舞蹈班的人数之和

avg：表示n个舞蹈班的人数的均值

该场景下算法计算方法

案例中俱乐部舞蹈班的人数的总和为：sum=1+2+3+4+5+6+7,sum=28，  

统计出俱乐部中舞蹈班级的个数为：n=7

计算出该俱乐部的人数的均值为：avg=sum/n,avg=28/7=4 ，

1.3 本算法优缺点

• 优点：能够快速准确地计算出均值
• 缺点： 在输入的数据过多时，会产出一定的误差。
• 本算法采用的数据类型：本算法适用于double数据类型。

1.4 算法的输入数据、中间结果以及输出

本算法输入数据

* @param    i   double，表示输入的数据

* @param    list   List，存储输入的数据

 算法中间结果

* @param   sum   double,表示输入的所有的数据之和

 本算法输出结果

* @return avg  double，表示数据的均值

 1.5 算法中的异常及处理办法

本算法可能异常或误差

异常1：输入数据不合法，如：输入字母。

异常2：输入数据特别大，会产生误差。

本算法异常或误差处理

异常1：解决，输入不合法给予提示。

异常2：解决，扩大数据占有的空间

1.6 算法的代码参考

源码：

    /**
     * @Title: set
     * @Description: 数据赋值
     * @param a存储的是输入的数据
     * @author cy
     * @date 2015-7-29
     */
    public static void set(double a[]) {

        b = a;
        n=a.length;
    }

    /**
     * @Title: avg
     * @Description: 计算平均值
     * @param a存储输入的数据
     * @param sum 表示输入的所有的数据之和
     * @param avg表示数据的均值
     * @author cy
     * @date 2015-7-29
     */
    public static void avg(double a[]) {
        // 定义一个平均值、和
        double sum = 0;
        for (double i : a) {
            sum += i;
        }

        System.out.println("平均值为：" + sum / n);

    }

类和方法基本描述

类源码：见源程序：Average.java

该算法首先接受输入的n个数据（输入时以输入0为结束），将其存入到List数组list中，再求出这些数据的总和sum，均值avg=sum/n;

类和方法调用接口

见源程序：Average.java

Average.java下包含如下方法：

List<Double> input()  //输入数据的函数

set(List<Double> list)  //数据赋值

avg(List<Double> list)  //计算均值的方法

2 中位数值

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2.1 中位数算法的描述

中位数的定义永远处于一组数据的中间，它是个中间值

中位数均值符号定义

n：表示的是输入的数据的个数

中位数算法中的计算方法

1. 按顺序排列数字：从最小值排列到最大值
2. 如果有奇数个数值，则中位数为位于中间的数值。如果有n个数，则中间数的位置为(n+1)/2
3. 如果有偶数个数值，则将两个中间数相加，然后除以2.中间位置的算法是：(n+1)/2。两个中间数分别位于这个中间数位置的两侧

2.2 中位数算法的应用场景

案例描述：有两组数据，分别求出两组数据的中位数，并比较两组数据的中位数的情况。

年龄	19	20	21	147	145
频数	3	6	3	1	1

1     1     1     2     2     2     2     3     3     31   31   32   32   32   32   33   33   33

中位数算法在该场景的定义

案例定义：将两组数据输入到算法中，算法中用数组list接受，之后，算法就会自动的算出这两组数据的中位数。

该场景下算法中符号解释

n：用来统计输入数据个数

list：用来存储输入数据

该场景下算法计算方法

①按顺序排列数字：

1     1     1     2     2     2     2     3     3     31   31   32   32   32   32   33   33   33

②如果有奇数个数值，则中位数为位于中间的数值。如果有n个数，则中间数的位置为(n+1)/2：

③如果有偶数个数值，则将两个中间数相加，然后除以2.中间位置的算法是：(n+1)/2：

该组数据中有18个数据为偶数。因此，用③中的方法，求出该组数据的中位数是17

2.3 本算法优缺点

• 优点：能够快速准确地计算出数据的中位数
• 缺点： 在输入的数据过多时，会产出一定的误差。
• 本算法适用于double数据类型。

2.4 算法的输入数据、中间结果以及输出

本算法输入数据

* @param    i   double，表示输入的数据

本算法中间结果

* @param    list   List，存储输入的数据

本算法输出结果

* @return med  double，表示数据的中位数

2.5 算法中的异常及处理办法

本算法可能异常或误差

异常1：输入数据不合法，如：输入字母。

异常2：输入数据特别大，会产生误差。

本算法异常或误差处理

异常1：解决，输入不合法给予提示。

异常2：解决，扩大数据占有的空间

2.6 算法的代码参考

源码：

    /**
     * @Title: med
     * @Description: 找中位数
     * @param a存储输入的数据
     * @param med表示中位数
     * @param n表示中位数的个数
     * @author cy
     * @date 2015-7-29
     */
    public static void med(double a[]) {
        // 定义中位数
        double med;
        // 对数据进行排序
        Arrays.sort(a);
        // 数据个数为奇数的情况
        if (n % 2 == 1) {
            med = a[(n+1)/2];
            // 数据个数为偶数的情况
        } else {
            med = (a[n / 2 ] + a[n/2+1]) / 2.0;
        }
        System.out.println("该组数据的中位数为:" + med);
    }

类和方法基本描述

类源码：见源程序：Median.java

算法中首先按输入的数据存入到数组List中（输入时以输入0为结束），再讲数组中的数字顺序排列：从最小值排列到最大值，如果有奇数个数值，则中位数为位于中间的数值。如果有n个数，则中间数的位置为(n+1)/2，如果有偶数个数值，则将两个中间数相加，然后除以2.中间位置的算法是：(n+1)/2。两个数分别位于这个中间数位置的两侧。

类和方法调用接口

见源程序：Median.java

Median.java下包含如下方法：

List<Double> input()  //输入数据的函数

set(List<Double> list)  //数据赋值

med(List<Double> list)  //找出数据中的中位数

3 众数

---

3.1 众数算法的描述

众数的定义

众数：即频率最大的数，与均值和中位数不同，众数必须是数据集中的一个数值，而且是最频繁出现的数值。

众数符号定义

n：表示的是输入的数据的个数

众数算法中的计算方法

众数的三步法：

1. 把数据中的不同类别或数值全部找出来。
2. 写出每个数值或类别的频数。
3. 挑出具有最高频数的一个或几个数值，得出众数。

3.2 众数算法的应用场景

案例描述：有一组数据，求出这组数据的众数。

年龄	19	20	21	147	145
频数	3	6	3	1	1

众数算法在该场景的定义

案例定义：将这组数据输入到算法中，算法中用数组map接受，之后，算法就会自动的算出这组数据的众数。

该场景下算法中符号解释

n：用来统计输入的值个数

map：用来存储输入的值和值出现的频数

tm：存储频数

max：表示最大的频数的值

该场景下算法计算方法

①首先按照要求将上述的数据输入到算法中，并以输入两个#号为结束。

②将输入的数据的频数存储到数组tm中

③找出tm数组中最大的数

④输出tm中与max值相同的数，即为要求的众数。

3.3 本算法优缺点

• 优点：能够快速准确地计算出众数
• 缺点： 在输入的数据过多时，会产出一定的误差。
• 本算法适用于double数据类型，String类型。

3.4 算法的输入数据、中间结果以及输出

本算法输入数据

* @param    i   double，表示输入的数据

* @param    map  Map，存储输入的值和该值出现的次数

本算法中间结果

* @param   tm   int[],存储值得频数

* @param   max   int 存储频数的最大值

本算法输出结果

* @return   int，表示数据的众数

3.5 算法中的异常及处理办法

本算法可能异常或误差

异常1：输入数据特别大，会产生误差。

本算法异常或误差处理

异常1：解决，扩大数据占有的空间

3.6 算法的代码参考

源码：

    // 用于统计输入了多少数据
    static int n = 0;
    static String a1[];
    static int b1[];
    /**
     * @Title: set
     * @Description: 数据赋值
     * @param a存储输入的数值,b数值出现的次数
     * @author cy
     * @date 2015-7-29
     */
    public static void set(String a[],int b[]) {

        a1=a;
        b1=b;
        n=b.length;
    }

    /**
     * 找众数
     * @param n输入的数据的个数
     * @param b存储数值出现的次数的数组
     * @param max表示次数的最大值
     */
    public static void zs(String a[],int b[]) {
        int i = 0;
        Arrays.sort(b);
        // 数组b中的最大值
        int max;
        // 获取数组中的最大值
        max = b[b.length - 1];
        System.out.print("众数为:");
        for (int j =0;j<b.length;j++){
            if(b[j]==max){
                System.out.println(a[j]);
            }
        }
        // 通过max得出数据的众数
    }

类和方法基本描述

类源码：见源程序：Mode.java

算法中利用Map(映射，集合中的每一个元素包含一对键对象和值对象，键对象对应数据中的数值，值对象对应数值出现的频数）来存储输入的数据，将数据存入到map中，以输入两个#为输入结束。将map中的值对象即频数读出存入到数组tm中，在对数组tm进行排序，求出数组tm中的最大值max，最后将所有的最大值输出即得到众数。

类和方法调用接口

见源程序：Mode.java

Mode.java下包含如下方法：

Map<String, Object> input()  //输入数据的函数

set(Map<String, Object> map)  //数据赋值

zs(Map<String, Object> map) //找出数据的众数

4 方差

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4.1 方差算法的描述

方差的定义

方差：量度数据分散性的一种方法，是数据与均值的距离的平方数的平值。

方差公式：∑（x-μ）^2/n

方差符号定义

n：表示的是输入的数据的个数

u:为数据的均值

∑:表示所有数据之和

方差算法中的计算方法

n：表示的是输入的数据的个数

u:为数据的均值

∑:表示所有数据之和

4.2 方差算法的应用场景

案例描述：有一组数据，求出这组数据的方差情况。

1     1     1     2     2     2     2     3     3     31   31   32   32   32   32   33   33   33

方差算法在该场景的定义

案例定义：将这组数据输入到算法中，算法中用数组list接受，之后，算法就会先计算出这一组数据的均值，再统计出该组数据的个数，最后，计算出这组数据的方差。

该场景下算法中符号解释

n：用来统计输入的数据个数

list：用来存储输入数据

sum：表示所有的数据之和

u：表示n个数据的均值

该场景下算法计算方法

案例中数据的和：sum=306 ，

统计数据的个数为：n=18

计算出该组数据的均值为：avg=sum/n,avg=17 ，

再计算出该组数据的方差为226.4083044982699

4.3 本算法优缺点

• 优点：能够快速准确地计算出方差
• 缺点： 在输入的数据过多时，会产出一定的误差。
• 本算法适用于double数据类型。

4.4 算法的输入数据、中间结果以及输出

本算法输入数据

* @param    i   double，表示输入的数据

* @param    list   List，存储输入的数据

本算法中间结果

* @param   sum   double,表示输入的所有的数据之和

* @param   n   int,表示输入的数据的个数

* @param   u   double表示数据的平均值

本算法输出结果

* @return fc  double，表示数据的方差

4.5 算法中的异常及处理办法

本算法可能异常或误差

异常1：输入数据不合法，如：输入字母。

异常2：输入数据特别大，会产生误差。

本算法异常或误差处理

异常1：解决，输入不合法给予提示。

异常2：解决，扩大数据占有的空间

4.6 算法的代码参考

源码：

    /**
     * @Title: calFac
     * @Description: 计算方差
     * @param a存储输入的数据
     * @param sum1所有的数据之和
     * @param u所有的数据的均值
     * @author cy
     * @date 2015-7-29
     */
    public static double calFac(double a[]) {

        // 数据的平均值
        double u;
        // 存储数据之和
        double sum1 = 0;
        for (double s : a) {
            sum1 += s;
        }
        // 计算平均值
        u = sum1 / n;
        for (double s : a) {
            sum = sum + (s) * (s);
        }
        return (sum / n - u * u);
    }
    /**
     * @Title: fac
     * @Description: 输出方差
     * @param a存储输入的数据
     * @author cy
     * @date 2015-7-29
     */
    public static void fac(double a[]) {

        System.out.println("方差为:" + calFac(a));
    }

 

类和方法基本描述

类源码：见源程序：Facha.java

方差算法的描述：方差是数据与均值的距离的平方数的平值。该算法首先接受输入的n个数据（输入时以输入0为结束），将其存入到List数组list中，再求出这些数据的总和sum，再求出数据的均值u=sum/n;最后根据方差的快速计算公式得出方差的值。

类和方法调用接口

见源程序：Facha.java

Facha.java下包含如下方法：

List<Double> input()  //输入数据的函数

set(List<Double> list)  //数据赋值

5 标准差

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5.1 标准差算法的描述

标准差的定义

标准差：是描述典型值与均值距离的一种方法，标准差越小，数值离均值越近 。

标准差公式：σ=方差开方

注：标准差也有可能为0，如果每个数值与均值的距离都是为0，则标准差将为0。

标准差符号定义

n：表示的是输入的数据的个数

u:为数据的均值

∑:表示所有数据之和

σ:表示标准差

标准差算法中的计算方法

1、计算出该组数据的均值u

2、再统计该组数据的个数n

3、利用方差的公式计算出方差

4、利用标准差的公式计算出标准差

5.2 标准差算法的应用场景

案例描述：有一组数据，求出这组数据的标准差情况。

1     1     1     2     2     2     2     3     3     31   31   32   32   32   32   33   33   33

标准差算法在该场景的定义

案例定义：将这组数据输入到算法中，算法中用数组list接受，之后，算法就会先计算出这一组数据的均值，再统计出该组数据的个数，计算出这组数据的方差，最后计算出该组数据的标准差。

该场景下算法中符号解释

n：用来统计输入的数据个数

list：用来存储输入数据

sum：表示所有的数据之和

u：表示n个数据的均值

该场景下算法计算方法

案例中数据的和：sum=306，

统计数据的个数为：n=18

计算出该组数据的均值为：avg=sum/n,avg=17 ，

再计算出该组数据的方差为226.408304498269

最后计算出该组数据的标准差：15.129074290546956

5.3 本算法优缺点

• 优点：能够快速准确地计算出标准差
• 缺点： 在输入的数据过多时，会产出一定的误差。
• 本算法适用于double数据类型。

5.4 算法的输入数据、中间结果以及输出

本算法输入数据

** @param    i   double，表示输入的数据

* @param    list   List，存储输入的数据

本算法中间结果

* @param   sum   double,表示输入的所有的数据之和

* @param   n   int,表示输入的数据的个数

* @param   u   double表示数据的平均值

本算法输出结果

* @return bzc  double，表示数据的方差

5.5 算法中的异常及处理办法

本算法可能异常或误差

异常1：输入数据不合法，如：输入字母。

异常2：输入数据特别大，会产生误差。

本算法异常或误差处理

异常1：解决，输入不合法给予提示。

异常2：解决，扩大数据占有的空间

5.6 算法的代码参考

源码：

    /**
     * @Title: fac
     * @Description: 计算标准差
     * @param a存储输入的数据
     * @param sum1所有的数据之和
     * @param u所有的数据的均值
     * @author cy
     * @date 2015-7-29
     */
    public static void bzc(double a[]){
        double bzc;
        // 计算方差
        bzc = calFac(a);
        // 标准差=方差开根号
        System.out.println("标准差为：" + Math.sqrt(bzc));
    }

 

类和方法基本描述

类源码：见源程序：Bzc.java

该算法首先接受输入的n个数据（输入时以输入0为结束），将其存入到List数组list中，再求出这些数据的总和sum，再求出数据的均值u=sum/n;最后根据方差的快速计算公式得出方差的值，将方差的值开根号即得到标准差的值。

类和方法调用接口

见源程序：Bzc.java

Bzc.java下包含如下方法：

List<Double> input()  //输入数据的函数

set(List<Double> list)  //数据赋值

bzc(List<Double> list)  //计算方差的方法

6 本章补充

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6.1 基本概念

全距

全距：也叫极差，是用于来量度数据集分散程度的一种方法。

其算法为：上界减去下界，其中上界为最大值，下界为最小值。

• 优点：全距是量度数据分散程度的既简单又方便的方法。
• 缺点：全距仅仅描述了数据的宽度，并没有描述数据在上下界之前的分布形态，不能体现数据的实际分布形态。并且，全距很容易受到异常值的影响。

摆脱异常值的办法：四分位数

四分位法：它将数据一分为四，最小的四分位数称为下四分位数，最大的四分位数称为上四分位数，中间的四分位数即为中位数。

 四分位距=上四分位数-下四分位数

求下四分位数的位置

①首先计算n/4

②如果结果为整数，则下四分位数位于“n/4”这个位置和下一个位置的中间取这两个位置上的数值的平均值，即得到下四分位数。

③如果“n/4”不是整数，则向上取整，结果即为下四分视为数的位置。

例如：如果你有6个数，首先计算6/4，得到1.5.向上取整的得到2，这表示下四分数的位置为2.

求上四分位数的位置

①首先计算3n/4

②如果结果为整数，则上四分位数位于“3n/4”这个位置这个位置和下一位置的中间，取这两个位置上的数值的平均值，即得到上四分位数。

③如果“3n/4”不是整数，则向上取整，所得到的新数字即为上四分位数的位置。 

百分位数：是将数据一分为百的数值。

箱线图

用箱线图绘制各种“距”

创建箱线图：首先按标度画出一个“箱”，想的左右两边分布代表下四分位数和上四分位数，然后在箱中画出一条线，标示中位数，这个箱的宽度就是四分距的宽度，随后，在箱的两边画出“线”，显示出全距的上界、下界和宽度。以下就是之前提到的舞蹈者的得分的箱线图。

舞蹈者A的全距相对较小，她的得分中位数比舞蹈者B的高一些，舞蹈者B的全距非常大，有时候这位舞蹈者的得分比舞蹈者A高很多，但是有时又低很多，舞蹈者A发挥更稳定，通常得分高于舞蹈者B，所以，我们会选择舞蹈者A

标准分

标准分是对不同环境下的相关数据进行比较的一种方法，可以对不同数据集的数据进行比较，可以使用标准分比较舞蹈者相对于其本人历史纪录的表现。

标准分的计算公式：z=(x-μ)/σ

计算标准分：

6.2 小结

学习的统计量：均值、中位数、众数，它们只是让我们知道了数据中心的情况，即数据集中的典型的具有代表性的数值，而第三章学的知识对让我们对一个数据集有了更完整的了解，知道了数据集中数值的实际的分布形态，有助于我们对数据更好的掌握。

            

本章主要讲的是分散性和变异性的量度，分散性的量度主要有全距（容易受异常值的影响）、四分位距（摆脱了异常值得影响）。异常性的量度主要有方差、标准差、标准分

7 开源共享 

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开源代码：http://yunpan.cn/cFZnjmcvzRsyg    访问密码 bf10