浅谈逆元及其求法

内容部分参考于以下博客

https://www.cnblogs.com/rir1715/p/7748054.html#commentform

https://baijiahao.baidu.com/s?id=1609032096408414934&wfr=spider&for=pc

用途：

就博主现在的认知来说（毕竟是一个蒟蒻，如果有新的认识会更新的），逆元主要是用在除法取模的时候。首先，如果是乘法，那么有 （a*b）%mod  = (a%mod*b%mod)，这是显而易见的一个结论，但当我们遇到除法取模时（一般是在组合数取模的时候），就不会这么容易了，因为（a/b）%mod !=（（a%mod）/（b%mod）），这个时候就需要我们的逆元登场了，至于为什么，请看下面逆元的定义。

定义：

简单来说，逆元其实就相当于初中学的倒数。

我们知道，对于一个数a，我们可以定义一个数b，使得 a*b = 1，这样的话，当我们需要除以a时，就可以转化为乘b，这样就能把除法转化为乘法。

同样，对于除a取模于mod的一个运算，我们依然可以定义一个数b，使得

（num/a）%mod = (num*b)mod，这样的一个数b，就可以称b为a在模mod下的一个逆元，有了逆元的话，我们就能将除法的取模运算转化为乘法的取模运算，从而来解决一些问题。

在这里给出逆元定义的数学形式(假设模数是n)

a * b ≡ 1 (mod n)

最后，要注意一点，一个数a在模n的情况下是不一定有逆元的，a关于n的逆元存在当且仅当a 和 n 互质，一个数a在模n的情况下逆元也不一定唯一，但我们只需要求出一个就够的，因为他们在模 n 的条件下结果是相同的。

求法：

目前，求解逆元一共有三种方法，接下来将一一讲解。

设 整数为 a，模数为 p，a在mod p条件下的逆元为 x。

1. 费马小定理

应用范围：p为素数。

这应该是最常用的的求逆元的方法，虽然有所局限，但确实是使用频率最高的一种算法了。

原理：

首先，我们由费马小定理得

 　　a^(p - 1) ≡ 1 mod p

变形得

　　a * a^(p-2) ≡ 1 mod p

对比于逆元的定义

　　a * x ≡ 1 mod p

显然 我们可以得到

　　x  ≡ a^(p-2) mod p

这样，我们就由费马小定理推理出 a 在 mod p 条件下的逆元为 a^(p-2)。

代码实现：

typedef long long LL
LL quick_pow(LL x, LL n LL p)// 快速幂求x^n mod p 的结果
{
    if(n==0)
        return 1;
    if(n==1)
        return x%p;
    LL ans = 1;
    LL tmp = x%p;
    while(n)
    {
        if(n&1)
        {
            ans = (ans*tmp)%p; 
        }
        tmp = tmp*tmp%p;
        b>>=1;
    }
    return ans%p;
}
LL inv(LL b,LL p) //求数 b mod p 的逆元
{
    return quick_pow(b,p-2,p);
}

2. 拓展欧几里得

局限：难以理解？（手动狗头）

原理：

敲起来太麻烦了，手写了

 

代码实现：

typedef long long LL
LL ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)//注意x,y的传引用
{
    if(a==0&& b==0)
        return -1;
    if(b==0)//递归终止条件
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int ans  = ex_gcd(b,a%b,x,y);
    int t = x; // 扩欧方程的解
        x = y;
        y = x - a/b*y;
    return ans;
}
LL inv(LL b,LL p) //求数 b mod p 的逆元
{
    int x,y;
    int d = ex_gcd(b,p,x,y);
    if(d==-1) // b,p不互素，利用扩欧求不出逆元
        return - 1；
    else
     return (x+p)%p; //x 的值就是 逆元，加上p再取模消除负数的情况
}

3. 线性推

原理：

 

因此我们可以通过一个递推式在线性时间内推导出1——（p-1）mod p 的逆元，递推式如下注意在式子右边加上p来消除负号

　 inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;

代码实现：

typedef long long LL
LL inv_arr[maxn];
void inv(LL b,LL p) //可以得到1到b mod p 的逆元 (1 < b < p)
{
    inv_arr[1] = 1;
    for(int i = 2;i<=b;i++)
        inv_arr[i] = (p-p/i)*inv_arr[p%i]%p;
    return;
}

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