Pascal三角形

作者：bakari   时间：2012.8.4

Pascal三角形又称杨辉三角形，是多项式系数的一种规律展示，最早是由我国数学家杨辉发现，比Pascal早200多年。

下面简单地总结一些其算法。

一、数组计算法：

1、公式推导：

这个很简单，看图就知道

由图可得公式：a[ i ][ j ] = a[i - 1] [j - 1] + a[i - 1][ j ] 

2、代码展示：

void YangHuiTriangleArray(int Row)                           
{
    for (int i = 0;i < Row; i++)
    {
        for (int j = 0;j <= i; j++)
        {
            if (j == 0 || j == i)  //置1条件
                a[i][j] = 1;
            else 
                a[i][j] = a[i - 1][j - 1] + a[i - 1][j];
            cout<<a[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
}

二、递归法

这个是最好想到的，这一步的实现需要上一步作为铺垫。

废话不多说，直接来看代码

long GetElement(int Row,int Col)
{
    if (0 == Col || Row == Col)   //递归出口
        return 1;
    else 
        return GetElement(Row - 1,Col - 1) + GetElement(Row - 1,Col);
}

void YangHuiTriangleRecur(const long n)
{
    for(int i = 0;i < n; i++)
    {
        for(int j = 0; j <= i; j++)
            cout<<GetElement(i,j)<<" ";
        cout<<endl;
    }
}

三、数学推导法

本方法主要借助数学推导，比起前两种性能要好很多

令X10= 1 ；则

X20 = 1 , X21 = X20 * (2 - 1 + 1)/1 = 2 , X22 = X21 * (2 - 2 + 1)/2 = 1;

X30 = 1 , X31 = X30 * (3 - 1 + 1)/1 = 3 , X32 = X31 * (3 - 2 + 1)/2 = 3 , X33 = X32 * (3 - 3 + 1)/3 = 1;

.........

Xij = 1, Xij+1 = Xij * (i - j + 1)/j , ...... , Xii = 1;

大体就是这么个推导法，下面看代码：

void YangHuiTriangle(int RowN)
{
    for (int i = 0;i < RowN;i++)
    {
        for (int j = 0;j <= i;j++)
        {
            if (j == 0)        //第一个数前面要输出相应的空格
            {
                for (int k = 1;k < RowN - i; k++)
                    cout<<"  ";
            }
            else 
                cout<<" ";                          //数与数之间输出相应空格  
            printf("%3d",ComputeNextInteger(i,j));  //输出下一个数
        }
        cout<<endl;
    }
}

int ComputeNextInteger(int iRow ,int iRowIndex)
{
    long p = 1;
    for (int i = 1;i <= iRowIndex; i++)    
        p = p * (iRow - i + 1)/i;            //根据公式计算每一个数；
    return p;
}

见图：

OK！希望多多烧香！